Théorème spectral

considère la fonction numérique f définie par f ( x ) = 2 x − sin x 1) Montrer que pour tout x réel 2 x − 1 ≤ f ( x) ≤ 2 x + 1 2) En déduire les limites de f lorsque x tend vers + ∞ et lorsque x tend vers − ∞ Exercice n°13. Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les limites en + ∞ et en − ∞ de chacune des fonctions f suivantes (si 1 + cos x x sin x ; 2) f ( x) = 2 elles existent): 1) f ( x) = x +1 x Exercice n°14. 1 + x² x On veut trouver la limite en +∞ de f : x 1) Montrer

 Leur utilisation devient plus délicate lorsqu'on veut détermi­ ner en plus les  actions mécaniques développées dans ce système. Par contre les théorèmes généraux  étudiés au chapitre précédent sont dans ce cas d'une plus grande efficacité.  Il est généralement souhaitable d'envisager l'utilisation des deux méthodes,  Lagrange pour le mouvement et théorèmes généraux pour les actions mécaniques, la  variation dans le temps de ces dernières étant obtenues plus aisément quand on  connaît déjà le mouvement

l’espace 1. Droites coplanaires Définition : Deux droites sont dites coplanaires lorsqu’elles sont contenues dans un même plan. Remarque :  Dans ce cas, elles sont soit parallèles, soit sécantes et nous pouvons appliquer les propriétés et théorèmes vu en géométrie plane.  Exemple :    Dans le plan (ABC) : (AB) // (CD)  (AB) et (BC) sont sécantes.  Dans le plan (ABG) : (AB) // (GH)  (AB) et (BG) sont sécantes.  Transitivité du parallélisme : Si deux droites sont parallèles à une même

maths est de ne pas apprendre les maths, mais de les comprendre ! Par comprendre, je veux dire être capable d'expliquer le raisonnement. J'ai vu trop de mes copains de classe passer du temps à apprendre bêtement des formules, des propriétés, des théorèmes sans comprendre ce qu'ils signifiaient. Cette façon de faire est très peu efficace car, en plus de vite oublier les choses apprises dont ils n'auront pas compris le sens, ils ne sauront pas quand les utiliser parce qu'ils n'auront pas compris à quoi

. . . . . . . . 1 1 1 7 13 17 22 25 30 35 35 52 69 82 92 101 117 Dérivation 129 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications

La logique Exercice no 1 Exprimer à l’aide de quantificateurs les phrases suivantes puis donner leur négation. 1) (dans cette question, f désigne une fonction de R dans R) a) f est la fonction nulle. b) L’équation f(x) = 0 a une solution. c) L’équation f(x) = 0 a exactement une solution. d) Le dénominateur D de f s’annule au moins une fois sur R. e) f est l’identité de R (c’est-à-dire la fonction qui, à chaque réel, associe lui-même). f) Le graphe de f coupe la droite d’équation y = x.

sont dits adjacents s’ils sont reliés par une arête. Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité. Un sous-graphe est un graphe G composé de certains sommets de G ainsi que toutes les arêtes qui relient ces sommets. Théorème 1 : La somme des degrés des sommets d’un graphe est égale à 2 fois le nombre d’arêtes du graphe. Remarque : une boucle se compte deux fois. Définition 2 : La matrice associée à un graphe possédant n sommets est la matrice suivante pour le graphe

dérivées partielles . . . 1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation . . . . . 1.2.3 Applications : dérivées partielles et dérivées . . . . . . . . . . 1.3 Théorème d’inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . 1.3.1 Théorème d’inversion globale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Théorème d’inversion locale . . . .

RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE Exemple 1 On considère la proposition P(n) dépendant d'un entier n : « 10n - (-1)n est un multiple de 11 » (On rappelle qu'un nombre est multiple de 11 lorsqu'il s'écrit sous la forme 11 x k avec k ∈ ZZ ) Vérifions que cette proposition est vraie pour les entiers n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4. Pour n = 0 : 10n - (-1)n = 100 - (-1)0 = 1 - 1 = 0 = 11 x 0 Pour n = 1 : 10n - (-1)n = 101 - (-1)1 = 10 - (-1) = 10 + 1 = 11 = 11 x 1 Pour n = 2 : 10n - (-1)n = 102 - (-1)2 = 100 - 1 = 99

g L L   0 0  ( On applique la règle des signes). Remarque :  0    , , 0   et sont des formes indéterminées.  0 Théorème * Soit P  x   a n x n  a n 1x n 1  ......  a1x  a 0 un polynôme de degré n  1 . Alors lim P  x   lim a n x n et x   * Soit f  x   x   a n x  a n 1x n bp x  bp1x p Alors lim f  x   lim x   Théorème sin x lim 1 ; x 0 x x   n 1 p 1 lim P  x   lim a n x n . x   x    ......  a1x  a 0  ......  b1x  b0