Théorème spectral

Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale S : Complément sur les Suites : récurrence… II – Suites récurrentes du type un +1 = f (un ) Vocabulaire. Soit a un réel. On dit que a est un point fixe de la fonction f si f(a) = a. Théorème II-1. Soit u une suite définie par un +1 = f (un ) où f est une fonction définie sur un intervalle I. u converge vers L Si  n où L ∈ I , alors L vérifie f ( L) = L : autrement dit, L est forcément un point f est continue en L fixe de f. Illustration

vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience, même s'ils en sont souvent inspirés, notamment dans le cas des mathématiques classiques) ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique – dénommé généralement théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Bien que les résultats

. . . . 1.3 Équation différentielle linéaire d’ordre 2 . . . . . . . . 1.3.1 Cas des coefficients constants . . . . . . . . . 1.3.2 Cas des coefficients quelconques . . . . . . . . 1.4 Équation différentielle linéaire à coefficients constants 1.5 Théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équation différentielle d’ordre 1 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . 2.3 Équations différentielles à variables séparables 2.4 Différentielle

alors pourquoi ne douterait-on pas de l’incrédulité ? Nous allons donc douter de l’incrédulité et y apporter quelques critiques. Son premier argument concerne les connaissances les « mieux fondés ». Prenons donc un contre exemple avec le théorème de Pythagore. Ce dernier semble être une connaissance extrêmement solide car nous le connaissons avec sa démonstration dès la quatrième. Ainsi lorsque j’ai démontré que dans un triangle rectangle en B que AC²=AB²+BC². Plus aucun doute n’est possible 

ne trace pas une ligne droite." (B. Mandelbrot, dans un texte introductif à la notion d'objet fractal) "Nous attendions tout de vous, sire, sauf des leçons de géométrie." (P. S. de Laplace sur Napoléon, étonné après que celui-ci eût exposé "son" théorème de NapoléonMascheroni [il est possible de construire au compas le centre d'un cercle], dont la démonstration lui a sans doute été soufflée par son grand ami italien) "M. de Laplace apporte l'esprit des infiniment petits dans la gestion des affaires

A l'université de Montpellier a été donnée une question bonus. La réponse d'un étudiant a été si profonde que le professeur l'a partagée avec ses collègues, via internet, et c'est pourquoi nous avons le plaisir de la lire. La question bonus était : L'Enfer est il exothermique (évacue de la chaleur) ou endothermique ( absorbe de la chaleur) ? La plupart des étudiants ont exprimé leur croyance en utilisant la loi de Boyle (si un gaz se dilate il se refroidit et inversement) ou ses variantes. Cependant

8 2.1.3.2. L’organisation d’un tournoi 8 2.1.3.3. Application géométrique 9 2.2. Chaînes et cycles eulériens 10 2.2.1. Exemple du trait de crayon unique 10 2.2.2. Notions de chaîne eulérienne et de cycle eulérien 10 2.2.3. Théorèmes d’Euler 12 2.2.4. Les sept ponts de Königsberg 14 2.2.5. Recherche d’une chaîne eulérienne à l’aide d’un algorithme 15 2.2.6. Modification du graphe afin d’obtenir un cycle eulérien 17 2.3. Matrice associée à un graphe 17 2.3.1. Exemple

avec ce qui vient d’être étudié, mais elle peut être aussi plus large, sollicitant alors des connaissances antérieures. L’interrogation peut être simple ou complexe: elle peut porter sur des connaissances ponctuelles (par exemple, une date ou un théorème) ou faire appel à des connaissances plus générales (une rédaction ou une démonstration). L’incidence des résultats des évaluations est plus ou moins importante selon les contextes et les conditions de l’évaluation: on n’accordera pas la même valeur

Pn+1 est vraie. n Conclusion : d’après l’axiome de récurrence en conclut que pour tout n on a tn = n+1 . 2 2. Proposition 2 : Vraie Les suites (un )et (vn ) sont adjacentes : elles convergent et ont la même limite . Comme un wn vn , d’après le théorème des « gendarmes », la suite (wn ) converge vers la même limite . 3. Proposition 3 : Fausse Il suffit de prendre f définie sur [0 ; 1] par f (x) = x et g définie sur [0 ; 1] par g(x) = 1 −x. Les intégrales sont égales à 1 (aires de triangles rectangles

Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires 5) Suites récurrentes 6) Suites homographiques IV : Comparaison des suites numériques