Théorème

dérivées partielles . . . 1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation . . . . . 1.2.3 Applications : dérivées partielles et dérivées . . . . . . . . . . 1.3 Théorème d’inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . 1.3.1 Théorème d’inversion globale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Théorème d’inversion locale . . . .

Projection orthogonale d’un vecteur sur un vecteur. Dans tout ce chapitre, on travaille dans un plan vectoriel. [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul Quelque soit le vecteur [pic], il existe un unique vecteur [pic] tel que : [pic] Définition : Le vecteur [pic] est appelé projection orthogonale de [pic] sur [pic] et noté [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul alors pour tout vecteur [pic] et [pic] et pour tout réel [pic] [pic] 2. Définition Définition :

étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple img362.png La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse. Division euclidienne 1img363.png étape: On utilise le Théorème [et définition: division euclidienne]  
Soient img364.png , img365.png . Alors il existe un unique couple img366.png de img367.png tel que img368.png      et  img369

Autrement dit : [pic] Remarque : On admet que si f est continue sur I alors f admet des primitives sur I. Exemples : Les fonctions [pic] et [pic] définies sur  sont des primitives de la fonction [pic] définie sur . En effet, [pic]. Théorème : Preuve 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I qui admet une primitive de f sur I. • Les primitives de f sur I sont les fonctions G de la forme [pic], k réel fixé, définies sur I. Autrement dit : deux primitives sur I d’une même

sous groupe de G, à l’aide d’une table de multiplication. 1 1 a b b2 ab ba a a 1 ba ab b2 b b b ab b2 1 ba a b2 b2 ba 1 b a ab ab ab b a ba 1 b2 ba ba b2 ab a b 1 L'anneaux Z/nZ K[X] Polynôme minimal Compléments 1 Sous groupes de Z Théorème 1 : Les sous groupes de Z sont de la forme nZ. c/c : H = K 1 a b b2 ab ba Exercice 1. Montrer que H est isomorphe à 3 Preuve Déja pour tout n ∈ N, nZ est bien un sous groupe de Z. Soit maintenant H un sous groupe quelconque de Z, si

fonctionne grâce à une variante du petit théorème de Fermat. 1. Division euclidienne et pgcd 1.1. Divisibilité et division euclidienne Définition 1 Soient a, b ∈ Z. On dit que b divise a et on note b|a s’il existe q ∈ Z tel que a = bq . Exemple 1 – – – – – – 7|21 ; 6|48 ; a est pair si et seulement si 2|a. Pour tout a ∈ Z on a a|0 et aussi 1|a. Si a|1 alors a = +1 ou a = −1. (a| b et b|a) =⇒ b = ±a. (a| b et b| c) =⇒ a| c. (a| b et a| c) =⇒ a| b + c. 1 2 Théorème 1. Division euclidienne Soit a ∈ Z

alors il divise aussi l’opposé de cet entier. De façon plus concise : l’ensemble aZ est un sous-groupe de (Z,+). Remarque 5   Si a divise b, alors a divise tout multiple de b, c’est évident. Rappelons le théorème fondamental suivant, démontré dans un chapitre antérieur : Théorème 6 (classification des sous-groupes de (Z,+))   Soit H⊂ Z un sous-groupe de (Z,+). Alors il existe un unique a∈N tel que H=aZ. Remarque 7   Vous avez fait mieux en devoir en classifiant les sous-groupes de (R,+)

g L L   0 0  ( On applique la règle des signes). Remarque :  0    , , 0   et sont des formes indéterminées.  0 Théorème * Soit P  x   a n x n  a n 1x n 1  ......  a1x  a 0 un polynôme de degré n  1 . Alors lim P  x   lim a n x n et x   * Soit f  x   x   a n x  a n 1x n bp x  bp1x p Alors lim f  x   lim x   Théorème sin x lim 1 ; x 0 x x   n 1 p 1 lim P  x   lim a n x n . x   x    ......  a1x  a 0  ......  b1x  b0

calculées pour notre exemple ont pour valeur (avec ): Page p 1 2 3 4 5 6 0,19 0,17 0,18 0,19 0,17 0,19 l'on se fixe un paramètre c comme précédemment, alors la somme des probabilités calculées dans la méthode utilisée par Google est égale à 1. Ce théorème permet de mettre en évidence que l'ont finit toujours, après un grand nombre de clics et en partant de n'importe quelle page, par aboutir sur chacune des pages avec les probabilités ainsi calculées. Conclusion Ainsi, Google a réussi non seulement

sommets il y a toujours une arête. On appelle Kn,m le graphe à n + m sommets tel que n de ceux-ci soient chacun reliés à tous les m autres et qu’il n’y ait aucune autre arête. Par exemple, le graphe précédent était K3,3 . Et on a un super-théorème : Théorème 7. (Kuratowski) Un graphe est planaire si et seulement si aucun de ses sous-graphes n’est K5 ou K3,3 La démonstration n’est vraiment pas facile. Nous connaissons maintenant les graphes complets, regardons à l’inverses des graphes avec