Théorème

supérieures, 0 < e−t tx−1 ∼ tx−1 . Or, puisque x − 1 > −1, la fonction t → tx−1 est intégrable sur un voisinage de 0 et on en déduit que la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur un voisinage de 0. 1 • Quand t tend vers +∞, e−t tx−1 = o 2 d’après les théorèmes de croissances comparées. On en déduit que la t fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur un voisinage de +∞. Finalement ∀x ∈]0, +∞[, la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur ]0, +∞[. b. Soit x > 0. Soient ε et A deux réels tels que 0 < ε <

de coordonnées choisi {draw:frame} La position du centre de masse est donc une caractéristique intrinsèque de la distribution spatiale des points matériels. 2. Théorème de la quantité de mouvement 2.1. Quantité de mouvement totale : Vitesse du centre de masse : {draw:frame} 2.2. Théorème de la quantité de mouvement : Dérivons les 2 membres de l’équation {draw:frame} par rapport au temps et tenons compte de l’équation du mouvement de chaque point. On

7 2.3. Opérations : Théorème : Soient deux fonctions f et g continues en x0 et un nombre réel λ. 1) Les fonctions f+g, λf et fg sont continues en x 0. 2) Si de plus g(x)≠0, alors Corollaire : 1) Toute fonction polynôme est continue en tout point de ℝ. 2) Toute fonction rationnelle est continue en tout point où elle est définie. 1 �� �� �� et sont continues en x0. 2.4. Composition d’une fonction ayant une limite L (L∈ ℝ) par une fonction continue en L : Théorème : Soit x0 un élément de

f’(0) L’existence de fonctions f vérifiant ces propriétés est admise. On s’intéresse au cas où k = 1 pour lequel l’utilisation de la méthode d’Euler nous persuade qu’une telle fonction existe. I La fonction exponentielle (de base e) 1° Théorème 1 Il existe une unique fonction f non nulle, définie et dérivable sur R telle que : f ‘= f et f(0)= 1. Cette fonction est la fonction exponentielle notée : exp On a donc : exp’ = exp et exp(0) = 1 Remarques : • La fonction exp est

c = 0 et ceci pour un réel ε positif quelconque. Comme c est une valeur arbitraire, f est donc continue sur R. s Bien souvent il est utile d’avoir un critère de continuité impliquant des suites numériques. Ce critère est donné dans le théorème suivant. Théorème 4.1. Une fonction f est continue en un point c ∈ Dom(f ) si et seulement si pour chaque suite (xn )n∈N de points appartenant à Dom(f ) qui converge vers c nous avons lim f (xn ) = f (c) n→+∞ 4 FONCTIONS CONTINUES ET LIMITES DE FONCTIONS

Cours de Mécanique n°2 : Lois et théorèmes de la mécanique. ( M1 ) 1- Référentiels galiléens. 1.1- Définitions stricte et propriétés d’un référentiel galiléen. 1.1-1. Principe d’inertie. Si un solide est isolé, c’est-à-dire soumis à aucune force ou pseudo-isolé, c’està-dire soumis à des forces dont la résultante est nulle ∑ F = 0 , alors : - si le solide était immobile alors il le demeure ( équilibre statique ). - Si le solide était en mouvement alors ce mouvement se poursuit en étant rectiligne

représentation graphique Théorème : Soit • si a > 0, • si a < 0, • si a = 0, (u n ) (u n ) (u n ) (u n ) une suite arithmétique de raison a ; est une suite strictement croissante est une suite strictement décroissante est une suite constante Représentation graphique : La représentation graphique d'une suite arithmétique est un ensemble de points alignés sur une droite. Exemple : 4) Somme de termes consécutifs Propriété : 1+ 2+ 3+ ...+ n= Démonstration : n(n+ 1) 2 Théorème : Soit (u n ) une suite

Quelques théorèmes fondamentaux I) PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30)

Le théorème de la valeur moyenne affirme, approximativement, que pour tout arc planaire entre deux points d'extrémité, la tangente à l'arc est parallèle à la sécante passant par ses points d'extrémité en au moins un point. Il s'agit de l'un des résultats les plus significatifs de la recherche sur le monde réel. Parameshvara (1380-1460), de l'école d'astronomie et de mathématiques de Kerala en Inde, a été le premier à présenter un exemple spécifique de ce théorème dans ses commentaires sur Govindasami

83 83 84 87 89 6 Mystification numérique 7 Petites histoires, anecdotes 7.1 Les histoires de VON NEUMANN . . . 7.2 ... Et les autres. . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 L’histoire de 2 + 2 = 5 . . . . . . . . . . . 7.4 La preuve ultime du Dernier Théorème de 8 Paradoxes 8.1 Les paradoxes de Zénon . . . . . . . 8.2 Le paradoxe des anniversaires . . . . 8.3 L’interrogation surprise . . . . . . . 8.4 La vie sur Ganymède . . . . . . . . . 8.5 2 = 1, ou 1/0 . . . . . . . . . . . . . 8.6 Le développement