Théorème

Précompacité et théorème d’Ascoli 1 Introduction Le théorème d’Ascoli est un profond résultat d’analyse fonctionnelle. Il nous servira à illustrer la puissance du formalisme topologique sur des espaces abstraits comme les espaces de fonctions. Afin d’établir sa démonstration, nous introduirons la notion d’espaces précompacts. La précompacité nous donnera un critère de compacité des espaces complets. 2 Précompacité On considère dans cette partie un espace métrique (X,d). p ¦ ¢ £ £ £ ¤¤¥¤¢ ©

nouvelles. Par exemple, pour être mathématicien, il ne suffit pas de connaître des théorèmes, il faut aussi être en mesure de résoudre un problème que nous n’avons jamais rencontré auparavant et dont nous n’avons pas déjà appris la solution. Maîtriser un savoir ne signifie donc pas seulement avoir des connaissances, mais être capable d’en découvrir par soi-même. Le vrai mathématicien n’est pas celui qui peut réciter des théorèmes ou des formules, mais celui qui s’en sert pour mener des raisonnements et établir

problème du flot maximum Formulation et propriétés Algorithme de Ford et Fulkerson Algorithme d’Edmonds et Karp Applications Quelques résultats Théorème du flot maximum et de la coupe minimale La valeur maximale d’un s − t flot dans un graphe G = (V , A) muni des capacités c(a), a ∈ A est égale à la capacité d’une s − t coupe de capacité minimale. Théorème des valeurs entières Si les capacités sont toutes entières, le problème du flot maximum a une solution entière. La proposition ne signifie pas que

vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . Famille Génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases . Existence de Bases ( en dimension nie ) . . . . Les Théorèmes Fondamentaux sur la Dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 18 20 21 23 24 2 3.7 Somme, Somme directe, Sous-Espaces

questions de cours 6 points 1) a) Théorème de Bezout : « Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au + bv = 1 » b) Il suffit de trouver une combinaison linéaire de a et b judicieuse pour éliminer n : (−7)a + (9)b = −63n − 35 + 63n + 36 = 1 Il existe donc un couple (−7; 9) tel que −7a + 9b = 1 d’après le théorème de Bezout, les nombres a et b sont premiers entre eux, pour tous n 2) a) Théorème de Gauss : « Soit a, b et c

les mathématiques sont-elles le modèle de toute vérité ? Si on pose qu’est vrai ce qui peut être connu de la même manière par tout le monde, il existe alors plusieurs méthodes. La démonstration en est une, qui montre comment une proposition (le théorème) découle nécessairement d’autres propositions (les axiomes et les définitions). Chacun peut refaire lui-même le parcours qui va des principes aux conséquences, sans se fier à l’autorité de quiconque. — Mais l’expérimentation en est une autre, qui

scientifique. Cette évocation de la pensée de Kant nous conduit naturellement à traiter de la vérité dans la connaissance scientifique. Intéressons-nous tout d’abord aux mathématiques. Celles-ci se réfèrent à des objets idéaux. Ainsi, la vérité d’un théorème de la géométrie ne se mesure jamais à des figures réelles. Lorsqu’on affirme que la somme des angles d’un triangle est égale à 180°, on ne prétend pas qu’il soit nécessaire qu’une figure tracée sur un tableau doive avoir la somme de ses angles exactement

pouvez obtenir une estimation meilleure que quadratique, de telle sorte que la convergence dans le théorème de Bergstein se montre du même ordre de grandeur que le degré d'approximation dans le théorème de Steinberg. " On ne trouvera pas ce style jovial dans ses écrits publiés. Là il empile formalisme sur formalisme. Trois pages de définitions sont suivies de sept lemmes et, finalement, d'un théorème dont l'énoncé des hypothèses prend une demi-page, tandis que sa démonstration se réduit essentiellement

33 La puissance nième d’une matrice 2X2 La puissance nième d’une matrice (détails) ........................................................ 34 Le théorème de CALEY-HAMILTON (pour les matrices 2x2)......................... 35 Algorithme de calcul de la puissance nième ....................................................... 36 Suite numérique associée à la puissance nième .................................................. 37 La puissance nième d’une matrice (propriétés) ..........................

exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des opérateurs ayant une «