Théorème

serait moins flagrant comme preuve… Au passage, l’assertion précédente s’appelle l’inégalité de Cauchy-Schwartz et ce n’est pas un axiome mais une proposition que l’on peut démontrer (moins de 10 lignes) grâce à d’autres propositions,  axiomes et théorèmes... Voilà donc, selon moi, pourquoi les mathématiques existent de manière indépendante… Il y a d’ailleurs de nos jours de nouveaux axiomes pour formaliser de nouvelles théories. Une des dernières grandes axiomatisations a été faite pour la théorie

un temps et finalement être prouvé puis fausse. Par exemple avant les personnes croyaient que la terre était plate et maintenant grâce au progrès scientifique on sait et on est sur que la terre est ovale. Ou une vérité peut être toujours comme le théorème de mathématique et c’est aussi une vérité réelle et éternelle. La vérité peut également changer lorsqu’on émet un jugement. La vérité n’est pas la même pour tout les monde car chacun d’entre nous possède ses propres pensées, gouts, croyances

efforts à la production de vaisselle et à laisser à d'autres le soin de produire du pain. En appliquant ce principe au cadre des pays, David Ricardo (1772-1823) construit en 1817 un argument majeur en faveur du libre-échange, et, au-delà, l'un des théorèmes les plus implacables et contre-intuitifs de l'économie moderne. Se souvenant avoir été mis au défi par un ami mathématicien, sceptique quant au caractère scientifique de l'économie, de nommer une proposition en sciences sociales « à la fois vraie

complexité et la richesse du programme de neuvième exigeraient un rythme soutenu de travail, n’autorisant aucune perte de temps. Le plan d’étude en donnerait de multiples exemples. Des chapitres comme les systèmes d’équations, le calcul algébrique, les théorèmes, en géométrie, ne pourraient être traités de manière satisfaisante qu’en mettant à profit chaque heure de cours, dans son intégralité. Est-il légitime que seuls les impératifs du programme soient pris en considération dans le contrat pédagogique

D ÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE L A DROITE DES MILIEUX Dans le triangle ABC ci-contre : A • le point I est le milieu du côté [AB], • le point J est le milieu du côté [AC]. On veut démontrer, prouver que la droite (IJ) est pa- I J rallèle à la droite (BC). Pour cela, placer sur la figure le point K, symétrique du point I par rapport au point J, C B et répondre aux questions suivantes : 1. a) Compléter le schéma de démonstration suivant : b) Compléter le texte suivant :

C'est a partir du moment ou il envoya des lettres en 1913 au mathématiciens anglais qu'il est reconnu dans le monde entier. Seul un mathématiciens, "G.Hardy" lui répondis a sa lettre mystère. Ses lettres était composée seulement de formules et de théorèmes sans démonstration. Ainsi Hardy décidas de le rencontrer afin de comprendre son raissonnement car comme il pensais : "Elles devaient être vraies, parce que personne n'eût pu avoir l'idée de les concevoir fausses. ". Il passa 5 ans a travaillais au

2) 2 > 0 donc le signe du produit de -50 par 1 ( 2x + 2) négatif. Ainsi pour tout x de [0; +∞[ , f '( x) <0 donc la fonction f est décroissante sur [0; +∞[ . 2 est De plus Un=f(n) donc la suite de terme général Un sera aussi décroissante. (Théorème page 152) 82930CTPA01 3/6 4. (0,5 point) La suite de terme général Un est décroissante, donc elle est majorée par son premier terme U0 qui vaut bien 25. 5. (0,5 point) Pour tout entier naturel n, 25n + 50 − 12,5 ( 2n + 2 ) 25n + 50 − 25n − 25

est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour que Q soit vraie P ⇒ Q et Q ⇒ P est équivalent à P ⇔ Q P V V F F Q V F V F P ⇒ Q V F V V Q ⇒ P V V F V P ⇔ Q V F F V Exemple : P ⇔ P est toujours vraie. 1.3.5. Théorème On appelle théorème une proposition logique toujours vraie. 1.3.6. Propriétés Négation ¬(¬ P) ⇔ P ¬ ( P ∨ Q) ⇔ ( ¬ P ∧ ¬ Q) ¬ ( P ∧ Q) ⇔ ( ¬ P ∨ ¬ Q) Associativité ( P ∨ Q) ∨ R ⇔ (P ∨ (Q ∨ R)) ( P ∧ Q) ∧ R ⇔ (P ∧ (Q ∧ R)) non (non P) ⇔ P non (P ou Q) ⇔

considère la fonction numérique f définie par f ( x ) = 2 x − sin x 1) Montrer que pour tout x réel 2 x − 1 ≤ f ( x) ≤ 2 x + 1 2) En déduire les limites de f lorsque x tend vers + ∞ et lorsque x tend vers − ∞ Exercice n°13. Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les limites en + ∞ et en − ∞ de chacune des fonctions f suivantes (si 1 + cos x x sin x ; 2) f ( x) = 2 elles existent): 1) f ( x) = x +1 x Exercice n°14. 1 + x² x On veut trouver la limite en +∞ de f : x 1) Montrer

borne. C'est le cas par exemple, de la fonction inverse limx→0-1x=-∞ et limx→0+1x=+∞ dont la courbe représentative, l'hyperbole d'équation y=1x admet pour asymptote l'axe des ordonnées d'équation x=0. Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne ouverte a et &Cscr;f sa courbe représentative. Si la limite de f est infinie quand x tend vers a (x < a ou x > a selon l'intervalle), alors la droite d'équation x=a est asymptote verticale