Théorème

Montrer que si I est un point du segment [AB] distinct de A et de B, alors la condition  IA AI 2 =2 est équivalente à la condition  = .  IB AB 3 2. Ecrire un programme de construction du point I à la règle non graduée et au compas,  utilisant le théorème de Thalès.  3. Faire une figure avec AB=10 cm.  4. Justifier la construction du point I.    Partie B : Deuxième méthode de construction du point I, dans un cas particulier.  1. Un segment [AB] de longueur 10 cm étant donné, peut‐on construire un point C tel 

fondamental pour les mathématiciens que pour tous les autres chercheurs, mais ceux qui travaillent sur les fondements des mathématiques sont sans doute plus pointilleux sur leur manière d’établir la vérité. Andrew Wiles, qui a récemment démontré le théorème de Fermat, a élaboré une démonstration entièrement manuelle, sans aucune aide informatique. Sa démonstration s’appuie sur les travaux qui se sont succédé en grand nombre depuis le xviiie siècle, entre autres, ceux d’André Weil. De cas particuliers

bn =0 ∀ n∈ℕ Si f est impaire, alors an=0 ∀ n∈ℕ cosn =−1n ,  sin  n=0 et  einx=−1n La série de Fourier d'une fonction est unique. Formule alternative :  f  t=∑ c n e −∞ ∞ in t 1 , avec  cn= ∫ f t e−i n t dt 2 0 2 Théorème de Parseval :  ∞ 1 1 ∫ ∣f  t ²∣dt= 2 a 02 ∑ a n2bn2  0 n=1 2 Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques Révisions Exercice 1 :  2 Calculer la série de Fourier de  f  x =x ∀ x∈]− ; ] ∞ En déduire la valeur de

La suite (an xn0 ) est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn0 | ≤ M . 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn0 xn x n x n n x |an xn | = ≤ M · La série est une série géométrique = |a x | n 0 xn0 x0 x0 x 0 n=0 x < 1, donc convergente. D’après le théorème de comparaison, la série de raison x0 ∞ n=0 |an xn | est convergente et par conséquent la série |x| < |x0 |. 2.) Soit 0 < r < |x0 | et soit |x| ≤ r. n an xn0 xn r n n x |an xn | = ≤ M · Comme = |a x | n 0 xn0 x0 x0 convergente, la série entière

c'est l'expérience sensible. Au-delà des limites de cette expérience, nous pouvons penser, débattre, argumenter, mais pas démontrer ni connaître. De plus un énoncé scientifique ne peut être vrai que s’il a été démontré précédemment. Par exemple le théorème de Pythagore qui a été démontré une fois à l’antiquité n'empêche pas qu’au jour d'aujourd'hui il est toujours considéré comme vrai, bien que démontré par d'autres. Pascal travaillait en collaboration avec d'autres scientifiques. Il ne rejetait donc

f est 7 donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle. Sur [2;4], la fonction f est continue et strictement croissante à valeurs dans [10-e2;10+e4]. On constate sur 11,292 appartient à cet intervalle image donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=11,292 admet une et une seule solution α sur [2;4]. b. Déterminer la production correspondante, à 10 kg près. x est exprimé en tonne ce qui correspond à 1000 Kg on encadre donc α à 10-3 près. Balayage

hypothèses. 1/11 n'existe pas d'expérience en mathématiques : pas de recours aux faits. « Les mathématiques sont une science hypothético-déductive. » (R. Blanché) 2/ Dire qu'une proposition mathématique est vraie dans une théorie (= qu'elle est un théorème de cette théorie), c'est démontrer qu'elle découle nécessairement des postulats de cette théorie. 3/ ILn'y a donc mathématiquement pas de sens à se demander si les hypothèses sont vraies, ni donc si la théorie est vraie. En mathématiques, la notion

lorsque n augmente, la fréquence d’un évènement varie de moins en moins : il y a stabilisation des fréquences ; ceci indique qu’il y a une loi mathématique sous-jacente (loi faible des grands nombre) qui va pouvoir fournir un modèle prédictif. Théorème : Pour un échantillon d’effectif n très petit par rapport à l’effectif N de la population, dont une fréquence ƒ des individus possède une propriété P, alors il y a environ 95 chances sur cent pour que l’intervalle I défini dans la suite contienne

12 17 19 Coef 5 6 7 8 Moyenne : x=2*5+12*6+17*7+19*8/5+6+7+8 Valeur exacte : 353/26 =13.58 (valeur arrondie au centième) Notes X1 X2 … X m Coef P1 P2 P3 P n X : x1*p1+x2*p2…+xm*pm / p1+p2+…pm Théorème : Si on augmente toute les valeurs d’une série statistique d’un nombre k ; la moyenne augmente de k. Si on multiplie toutes les valeurs d’une série statistique par un nombre k non nul alors la moyenne est multipliée par k. IV.médiane,diagramme

 5, 6 appartient à et à un seul des Ai. Remarque A et A forment une partition de l'univers, quel que soit l'évènement A. En effet, toute éventualité appartient soit à un évènement, soit à son contraire et ne peut appartenir au deux en même temps. Théorème (Formule des probabilités totales) Soit A1, A2, . . . , An une partition de l'univers Ω. Pour tout évènement B : p(B)=p(A1 ∩ B) + p(A2 ∩ B) + . . . + p(An ∩ B) =p(A1)×pA1(B) + p(A2)×pA2(B) + . . . + p(An)×pAn(B) Cas particulier fréquent Comme A