Théorème

suite convergente et théorème fondamental ”la suite U = u n n converge vers L SSSI toutes les sous-suites convergent vers L SSSI les deux sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers L ” ; suites de limite nulle , théorèmes sur opérations et limites ; suites réelles divergentes vers ±∞ , extension des résultats sur opérations et limites ; théorèmes usuels sur ordre et limite notamment théorème de passage à la limite sur une inégalité et théorème d’encadrement ) ; théorèmes classiques sur les suites

par les valeurs 1 et 0, tandis que les opérateurs ET et OU deviennent des opérateurs algébriques de multiplication et d’addition. Le présent chapitre est consacré à cette algèbre, présentant dans un premier temps les postulats, les axiomes et les théorèmes qui en découlent. Une partie du chapitre est également consacrée à la manipulation de cette algèbre logique, suivie d’une illustration des applications possibles pour les besoins des circuits logiques. Pour ce faire, une introduction des fondements

d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Théorème de Nash-Moser 2.1 Espaces de Fréchet et bonnes applications . . . . . . . 2.2 Bons espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Le théorème de Nash-Moser : énoncé général . . . . . . 2.4 Le théorème de Nash-Moser dans les espaces de Hölder 2.4.1 Théorie de Littlewood-Paley . . . . . . . . . . . 2.4.2 Quelques estimations douces . . . . . . . . . . . 2.4.3 Preuve du théorème de Nash-Moser . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Quelques propriétés des nombres algébriques6 II.1. Définitions6 II.2. Propriétés7 II.3. Dénombrabilité des nombres algébriques7 III. Les nombres transcendants8 III.1. Définitions8 III.2. Construction d'un nombre transcendant9 III.2.a. Théorème de Liouville9 III.2.b. Les nombres de Liouville10 III.2.c. La constante de Liouville11 IV. Transcendance de e12 IV.1. Plan de la démonstration12 IV.1.a. Définition12 IV.1.b. Description de la méthode12 IV.2. Démonstration de la transcendance

: ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x) = x 3 + sin x + 11 , la dérivée d’une fonction constante étant nulle, F est aussi une primitive de f. D’où le théorème suivant : Théorème : Si f admet une primitive sur un intervalle I alors elle en admet une infinité. Ce sont toutes les fonctions du type F + c où c est une constante réelle. Démonstration : Soient F et G deux primitives de la fonction f sur I. Alors : ! x

groupe. On dit qu'une partie H de G est un sous-groupe de G si les conditions suivantes sont vériées : i) H est stable pour la loi ·. ii) (H, ·) est un groupe. un sous-groupe de G, il faut et il sut que : i) H = ∅. ii) ∀x, y ∈ H, xy −1 ∈ H . Théorème 3.1 Soit G un groupe d'élément neutre e. Pour qu'une partie H de G soit ⇒) Evident. ⇐) On a H = ∅. Soit donc a ∈ H , alors aa−1 = e ∈ H , d'où ∀x ∈ H, ex−1 = x−1 ∈ H . Ainsi, ∀x, y ∈ H, xy = x(y −1 )−1 ∈ H , c.-à-d. que H est stable pour la loi

le reste d’une n série et la série elle même convergent ou divergent à la fois. La preuve est à faire en exercice. 2-4 Séries à termes positifs. 2.2.1PCritères de convergence. Soit Un une série numérique dont les termes sont positifs ou nuls. n Théorème 2.1 Pour que la série P Un à termes positifs converge il faut et il su¢ t qu”il existe un nombre n postif A tel que 8n 2 N Sn A: Preuve: La suite des sommes partielles Sn est croissante Sn+1 = Sn + Un+1 Sn Donc, pour que la suite (Sn )n2N

habituelle f (0) (x ) = f (x ) . Les nombres C nk sont ceux qui interviennent dans la formule du binôme de Newton. 6°/ Fonctions réciproques : Le théorème des fonctions inverses Si f : I → J est dérivable, bijective et si f ′ ( a ) ≠ 0 pour un élément a de I, la fonction réciproque g = f −1 est dérivable en f(a) et g ′ ( f ( a )) = 1 (Théorème des fonctions inverses). f ′(a ) Cela est assez clairement illustré par les représentations graphiques de f et de g qui sont symétriques par rapport à

On considère la fonction ƒ définie sur £ la fonction ƒ définie par ƒ(x) = \ {1} par ƒ(x) = • Trouver trois réels a, b et c tels que ƒ(x) = ax + b + 2 x 2 − 3x + 2 . x −1 c x −1 • Préciser les éventuelles asymptotes. 5) Théorèmes de comparaison "une fonction plus grande qu'une fonction qui tend vers +∞, tend vers +∞" "une fonction inférieure à une fonction qui tend vers −∞, tend vers −∞" u(x) et si lim u(x) = +∞,   • si, pour tout réel x assez grand, on a ƒ(x)

Filière : MP Application linéaire et sous-espaces vectoriels codimension : Théorème 1.1. E et F deux espaces vectoriels sur K = R ou C u ∈ L(E, F ) alors u définit un isomorphisme de tout supplémentaire de ker u dans Imu. En particulier les suplémentaires de ker u sont isomorphes Démonstration. Soit G un sous espace vectoreil tel que E = Ker ⊕ G , alors G −→ Imu x −→ u(x) définie bien un isomoprphisme Théorème 1.2. F et F deux sous espaces vectoriels supplémentaires d’un sous espace vectoriel