Théorème

modèle HOS, la CPP a donc la forme concave suivante : [pic] SECTION II : les résultats du modèle HOS. Nous allons voir deux théorèmes fondamentaux du modèle HOS, qui figurent parmi les résultats les plus importants de la théorie du commerce international : le théorème d'Heckscher-Ohlin et celui de Stolper-Samuelson. A) Le théorème d'Heckscher-Ohlin. Ce premier théorème prédit les AC des pays sur la base de leurs dotations factorielles relatives. Pour définir les AC, il faut pouvoir comparer

e TI1"éo~è~e" (Théorème de convergencemonotone 4.1 d-;:; BepI>o-Levi) . Soit (fn)nEN une suite de fonctions mesurables positives de (X, A,.u) -t [0, +00], qui converge simplement vers une fonction f en croissant {i.e pour tout x E X, tout nE N, . f n (x) ::; fn+ 1(x)). Alors f est mesurable et pour tout A E A, lim n-+oc j. fnd.u = { A lim fndJ.L lA n-++oo = jA j du, temm~ "4.2 (L~"mme Fatou) de Soit (fn (X, A, J.L) -t [0, +OOJ))nEN une suite de fonctions alors lim

Université de Nice-Sophia Antipolis et GREDEG pierre.garrouste@orange.fr Plan  1. Rappels      Préférences Utilité Risque Information La règle de Bayes L’équilibre walrasien L’existence de l’équilibre Le premier théorème du bien-être Le second théorème du bien-être Les externalités Le financement des biens publics La sélection adverse Le hasard moral Les dilemmes Leurs solutions  2. L’équilibre général      3. Les défaillances du marché    4. Les asymétries

; d’où la proposition : Proposition 1.3.1 Soit un une série à termes positifs. un converge ⇐⇒ (Sn )n est majorée Preuve. Il suffit d’appliquer la remarque (1.3.1) et de se rappeler que les suites croissantes et majorées sont convergentes. Théorème 1.3.1 (Règle de comparaison) Soit un vn deux séries à termes positifs. On suppose que 0 ≤ un ≤ vn pour tout n ∈ N. Alors : 1. vn converge =⇒ 2. un diverge =⇒ Preuve. un converge. vn diverge. n 1) un ≤ vn =⇒ Sn = k=0

DERNIÈRE IMPRESSION LE 22 juillet 2015 à 16:27 La fonction exponentielle Table des matières 1 La fonction exponentielle 1.1 Définition et théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Approche graphique de la fonction exponentielle . 1.3 Relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Autres opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Étude de la fonction exponentielle 2.1 Signe . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Variation

INTÉGRALES IMPROPRES Prérequis : Fonctions numériques - Développements limités - Calcul intégral - Théorème de la limite monotone 1 Généralités Dans ce paragraphe K désigne R ou C. 1.1 Définition : Soient a ∈ R et b ∈ R ∪ {+∞}. Soit f : [a, b[→ K une fonction continue x par morceaux. On pose F (x) = a b f (t) dt pour tout x ∈ [a, b[. On dit que f admet une intégrale impropre si F (x) admet une limite quand x → b par valeurs inférieurs. On note alors a f (t) dt cette limite

probabilités respectives b) Théorème notables Théorème 1 : Quel que soit E, la somme des probabilités de l'événement E et de son complément est égal à celle de l'univers des possible Ω, c'est à dire 1. Théorème 2 : La probabilité du sous ensemble vide ø de Ω est nulle. Théorème 3 : Si un événement est inclus ou égal à l’élément, alors la probabilité de Théorème 4 : Quel que soit un événement E de P (Ω), P(E) est comprise entre 0 et 1 Théorème 5 : Quel que soit, la probabilité

⎡⎣e−σ t f (t ) ⎤⎦ = F ( p + σ ) (translation de la transformée) (I.7) LI [ f (t ) * g (t ) ] = F ( p )G ( p ) (convolution) (I.8) lim pF ( p ) = lim f (t ) p →∞ t → 0+ (théorème de la valeur initiale) (à condition que ces limites existent) (I.9) 5 6 TRANSFORMEE DE LAPLACE lim pF ( p ) = lim f (t ) p→ 0 t →∞ (théorème de la valeur finale) (I.10) (à condition que ces limites existent) F ( p) ⎡∞ ⎤ (périodification) LI ⎢ ∑ f (t − kT )ε (t − kT ) ⎥ = − pT ⎣ k =0 ⎦ 1− e (I.11) Exemple I

à Ω : 2. 3 Propriétés Théorème 1 Démonstration : On sait que selon l’axiome 3 Or, Théorème 2 Démonstration : On sait que selon le théorème 1 Or, l’axiome 2 nous dit que soit selon l’axiome 2 Théorème 3 Démonstration : On crée E3 : il existe E3 tel que Faire Or, Puisque Ce théorème a deux conséquences : Conséquence 1 : si Pour tout Pour tout Conséquence 2 : Pour tout Pour tout Théorème 4 : Démonstration : Or, d’après le théorème 2 Et d’après l’axiome 2

rencontrer sont en réalité des extensions simples. Nous allons déterminer la structure d’une extension simple. Démonstration Soit σ; K X E l’application définie par σ P P a pour tout P K X . Il est facile de vérifier que σ satisfait les conditions du théorème. Il nous reste à prouver l’unicité de σ. Si τ est une autre solution, alors nous avons pour tout P i n i 0 i 0 i 0 Si Démonstration Im σ est un sous-anneau de E. Il contient K σ K et a L est un sous-anneau de E contenant K a L car tout