Topologie induite

Réalisation géométrique du plongement homologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii TABLE DES MATIÈRES Introduction La motivation de notre travail vient du problème fondamental de la topologie différentielle suivant : Q.1 : étant donnée une application continue f : M → V entre deux variétés différentiables fermées 1 , existe-t-il un plongement 2 ˜ lisse f : M → V homotope à f ? Commençons par rappeler quelques résultats classiques autour

(co-isométries vraies) en dimension infinie. 2. Topologie : L’utilisation de la compacité apparaît au chapitre VII avec les opérateurs compacts, dont on sait que la théorie spectrale est proche de celle faite en dimension finie (théorie de Riesz) et le théorème d’Ascoli-Arzela y est souvent utilisé, ainsi que la convergence quand il y a une seule valeur d’adhérence (et quand l’espace ambiant est compact), et les théorèmes de Tychonoff, Banach-Alaoglu, pour les topologies affaiblies du chapitre IX. La connexité

langage, la logique mathématique. Le xxe siècle a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, topologie algébrique et géométrie algébrique, par exemple). L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un formidable outil pour la confrontation

(α − β)! β βi ≤ αi pour i = 1, . . . , n. On pourra faire une r´currence sur n ∈ N. e o` u, v : Rn → R sont de classe |α|, u 1.3. Espaces de fonctions. Si Ω est un sous-ensemble de R, C(Ω) sera l’espace de fonctions continues sur Ω (pour la topologie induite) ` valeurs a complexes. Si Ω est ouvert et k est un entier positif, C k (Ω) sera l’espace des fonctions ayant des d´riv´es partielles continues jusqu’` l’ordre k, et C k (Ω) sera l’espace e e a des fonctions u ∈ C k (Ω) telles que ∂ α u s’´tendent

Considérons un cas plus trivial: la catégorie des ensembles Ens . Si C et C sont deux catégories, désignons par Hom! (C , C ) la catégorie des foncteurs de C vers C qui commutent aux petites limites inductives. L’évaluation sur l’ensemble à un élément e induit, pour toute petite catégorie admettant des petites limites inductives, une équivalence de catégories − Hom! (Ens , C ) −→ C . En particulier, on a une équivalence de catégories Hom! (Ens , Ens ) Ens par laquelle l’identité de Ens correspond à l’ensemble

donc · ∞ · n k=0 1 . Mais 1 · 1 n’est pas born´e sur e n la sph`re unit´ de e e puisque, par exemple ∞ δk = n + 1 et k=0 δk ∞ = 1 . La topologie associ´e ` la norme · e a associ´e ` la norme · 1 . e a sur 1 est donc strictement incluse dans la topologie c EduKlub S.A. Page 6 Michel Lepez www.klubprepa.net Tous droits de l’auteur des œuvres r´serv´s. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la

1918 69622 Villeurbanne cedex, France Licence Sciences, Technologies & Santé Spécialité Mathématiques L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr Cours d’Analyse III Fonctions de plusieurs variables 1 2 Table des matières 1 Notion de topologie dans Rn 1.1 Espaces métriques, définition de la distance . . . . . . . . 1.2 Boules ouvertes, fermées, sphères et parties bornée . . . . 1.3 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Position d’un point par rapport à une partie

En cosmologie, un mirage topologique est un hypothétique mirage, qui serait dû à la topologie de l'Univers. Plus précisément, cet effet serait lié à la structure et aux raccordements topologiques de celui-ci. Ce mirage nous donnerait l'impression que l'univers est plus vaste qu'il ne l'est en réalité en démultipliant les sources « lumineuses » qui nous proviennent du cosmos : un peu comme une pièce tapissée de miroirs réfléchit infiniment son propre contenu. Sommaire [masquer] 1 Origine de

y( 1) ; x = y; 3 ) Une relation d’ ordre, dont la restriction à R est la relation d’ ordre usuelle de R, et qui est telle que 8x 2 R; 1 < x < +1; 4 ) Une topologie qui est engendrée par l’ ensemble formé de tous les ouverts de R ( pour la topologie usuelle de R ) et les parties [ 1; x[; ]x; +1]; x 2 R. Par conséquent, pour cette topologie, O R est ouvert si et seulement si il existe une famille (Ik )k2K d’ éléments de f]a; b[ = telle que O = [k2K Ik . 2 1 a b +1g [ f[ 1; b[ = b 2 Rg [ f]a; +1]

ENS Ulm-Lyon 2000 Soit f une fonction dans C ∞ (Rd , Rd ) (d´finie sur Rd et ` valeurs dans Rd ). L’objet de ce probl`me est l’´tude de propri´t´s e a e e ee qualitatives du syst`me d’´quations diff´rentielles e e e (E) dx (t) = f (x(t)) dt o` x est une fonction d´finie sur un intervalle de R ` valeurs dans Rd . La norme euclidienne usuelle de Rd sera not´e . u e a e et B(x, r) d´signera la boule ouverte de centre x et de rayon r. On notera Re z la partie r´elle du nombre complexe z. La e e diff´rentielle