Topologie induite

ε-réseau de X si X= B xi ε où B x ε désigne la boule fermée de centre x et de rayon ε.   ¨ Définition On dit que (X,d) est précompact si ε Proposition Si (X,d) est précompact, alors pour tout sous ensemble Y de X muni de la métrique induite (notée, par abus d’écriture, d): – (Y,d) est précompact. – (Y ,d) est précompact. Démonstration – Montrons que (Y,d) est précompact. Soit ε p  p / éléments de Y. Par contre, comme pour tout xi de A, B xi ε 2 Y 0, dans chacune de ces intersections

Topologie Générale - UE045 - Année 2009-2010 2009 Contrôle continu Durée - le 14 octobre : 1 heure Les documents, calculatrices non autorisés. Questions de cours Soit (E, T) un espace topologique. 1. De combien de topologies peut-on munir E s'il contenait 2 éléments? 2. Soit A un sous ensemble de E. Vérifier que GEA = GgA. et que GEA. c;A = o 3. Soit maintenant BeA c E. Vérifier que la topologie (TA)B induite par TA sur B n'est autre que la topologie

sousensembles de Ω. On dit que O est une topologie sur Ω si elle v´erifie les trois conditions (i) ∅, Ω ∈ T , (ii) O1 , O2 ∈ T ⇒ O1 ∩ O2 ∈ T , (iii) si I est un ensemble (d’indices) et si pour tout i ∈ I on a Ai ∈ T , alors ∪ Oi ∈ T . i∈I Le couple (Ω, O) est appel´e un espace topologique et les ´el´ements de O sont appel´es les ouverts (de la topologie). Si (Ω, O) est un espace topologique, alors une partie B ⊂ O est appel´ee une base pour la topologie si tout ´el´ement de O s’´ecrit comme une

n bn Exo ( Très important ) : an ~ bn et lim an  1 alors ln  an  ∼ ln bn  n 1 Rappel : quelques résultats de SUP : ln(n)  o  n  ; en  o  n III ) Topologie dans un espace vectoriel normé : 1°) Boules ouvertes et fermées : Def : Soit E un espace vectoriel normé, x un élément de E, on appelle boule ouverte de centre x et de rayon r le sous ensemble de E défini par : Bo x, r    y  E,

Montrer qu'un ouvert faible est un ouvert fort. 2) Montrer que E = (E, σ(E, E )) . En particulier les ensembles {x ∈ E, f, x < α} où f ∈ E et α ∈ R sont des ouverts faibles. 3) Montrer que si E est de dimension nie alors σ(E, E ) est égale à la topologie associée à la norme de E . Soit E un espace vectoriel normé de dimension innie. Nous allons montrer que la sphère unité S = {x ∈ E, x = 1} de E n'est pas σ(E, E )-fermé, et que la fermeture faible de S est égale à la boule unité fermée B = {x ∈

diriger l'Univers. Dites-moi alors, à quoi bon courir après un million de dollars ? » Conjecture de Poincaré 2 Éléments liés à la preuve de la conjecture Si la conjecture a induit une longue liste de preuves incorrectes, certaines d'entre elles ont toutefois mené à une meilleure compréhension de la topologie en petites dimensions. Sa résolution est liée au problème de classification des variétés de dimension 3. Une classification des variétés de dimension 3 est généralement considérée comme

langage, la logique mathématique. Le XXe siècle a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, topologie algébrique et géométrie algébrique, par exemple). L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un formidable outil pour la confrontation

en cascade à deux lignes principales (les fibres alimentation et retour) par des coupleurs passifs de dérivation ; si les capteurs utilisés fonctionnent en réflexion, cette topologie échelle prend alors une forme simplifiée, parfois abusivement qualifiée de linéaire. Une variante particulièrement intéressante de cette topologie échelle est la variante dite équilibrée qui permet de garantir un bilan de flux homogène pour l’ensemble des transducteurs constitutifs du réseau (le nombre de dérivations

MP* 2014/2015 RÉSUMÉ DU COURS ESPACES NORMÉS : SUITES ET TOPOLOGIE I Suites réelles et complexes A Borne supérieure Définition Si A ⊂ R est une partie non vide et majorée, l’ensemble de ses majorants possède un plus petit élément, qu’on appelle borne supérieure de A et notée sup( A). Cette borne supérieure M = sup( A) n’est pas en général un élément de A et est caractérisée par les deux propriétés ∀x∈A x M ∀ε>0 ∃x∈A B M−ε < x M Convergence d’une suite réelle

Topologie pour la Licence Cours et exercices Clemens Berger1 24 Janvier 2004 1 Universit´e de Nice-Sophia Antipolis, Laboratoire J.-A. Dieudonn´e, 06108 Nice Cedex 2 Table des mati` eres Pr´ eface 5 1 Espaces m´ etriques 1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Adh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .