Tpe Nombres Premiers

mathématiques Lundi 23 septembre 2013 Exercice 1 ROC 5 points 1) On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q 1 a) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme 1 − qn+1 1−q b) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 1024 S n = u0 2) a) Donner la formule de la somme S n des (n+1) premier termes d’une suite arithmétique : S n = u0 + u1 + u2 + · · · + un b) Déterminer en fonction de n, la somme

NOMBRES PREMIERS Les plus anciennes traces des nombres premiers ont été trouvées pres du lac Edouard au Zaire sur un os de plus de 20.000 ans, appelé l’os d’Ishango et recouvert d’entailles marquant les nombres 11, 13, 17 et 19. Ces nombres sont premiers. C’est avec Euclide Alexandrie que les théoremes sur les nombres premiers se mettent en place.On peut supposer aussi, que par leurs travaux sur les nombres, égyptiens et babyloniens ont certainement été menés à rencontrer des nombres premiers

existe une infinit´ de nombres premiers congrus ` 1 modulo 4. e a Solution 3 Il s’agit encore de faire une preuve “` la Euclide”, mais plus fine que dans d’autres cas. On raisonne a par l’absurde et on suppose qu’il existe un nombre fini de tels nombres premiers que l’on note par ordre croissant p1 , . . . , pn . On consid`re P = (pn !)2 + 1. Alors aucun des pi ne divisent m, pourtant un des diviseurs premiers de e P est congrus ` 1 modulo 4. En effet, soit p 3 un nombre premier qui divise n2 + 1. Alors

entier naturel n non nul, un le salaire annuel au bout de n années. 1- Calculer u1. u1 = 1,03*u0 = 20600. 2- Exprimer un+1 en fonction de un, puis dire si la suite est croissante ou non. un+1 = 1,03 * un → comme on multiplie par un nombre plus grand que 1 un nombre positif, la suite (un) est croissante. 3- A l'aide de la calculatrice : a) Déterminer le salaire annuel au bout de 20 ans. Même démarche, on trouve 36122€ / an. b) Déterminer au bout de combien d'année le salaire aura doublé. Même

toute application de N dans R. Une suite se note u, ( ) n N ou bien ( ) qui est la notation la plus courante. ( ) désigne une suite désigne un nombre est le terme général de la suite ( ), le terme de rang n ou le terme d’indice n. est le terme initial de la suite ( ) Si deux suites ont la même relation de récurrence et le même premier terme alors ces deux suites sont égales. Une suite ( ) est croissante lorsque pour tout entier n : < Une suite ( ) est décroissante lorsque pour

Cours d’arithm´ etique Premi` ere partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi D´ecembre 2004 Ce document est la premi`ere partie d’un cours d’arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´eparant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´ equences Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´ es Polynˆ omes ` a coefficients entiers Fractions

Méthodes sur les suites G. Petitjean Lycée de Toucy 19 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur les suites 19 juin 2007 1 / 41 1 Déterminer par le calcul et graphiquement les premiers termes d’une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d’une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d’une suite un+1 = f (un ) 4 Déterminer le sens de variation d’une suite 5 Montrer qu’une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général

l'expression de v n en fonction de n. n 3°) En déduire la limite de v n . On considère la suite w définie pour tout n entier naturel par : w n= Devoir maison pour le lundi 6 octobre : Exercice 125 p 63 : Utiliser le graphique ci-dessous pour placer les premiers termes de la suite y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 

Etudier les deux suites un = ∑nk=0 k!1 et vn = un + n.n! . Correction [005237] Exercice 19 √ √ Etudier les deux suites un = ∑nk=1 √1k − 2 n + 1 et vn = ∑nk=1 √1k − 2 n. Correction [005238] Exercice 20 **T Déterminer un en fonction de n et de ses premiers termes dans chacun des cas suivants : 1. ∀n ∈ N, 4un+2 = 4un+1 + 3un . 2. ∀n ∈ N, 4un+2 = un . 3. ∀n ∈ N, 4un+2 = 4un+1 + 3un + 12. 4. ∀n ∈ N, 2 un+2 = 1 un+1 − u1n . 3 5. ∀n 2, un = 3un−1 − 2un−2 + n3 . 6. ∀n ∈ N, un+3 − 6un+2 + 11un+1 −

En théorie des nombres, le théorème des nombres premiers est un résultat concernant la distribution asymptotique des nombres premiers. En définissant, pour tout réel positif x, le nombre π(x) comme le nombre de nombres premiers inférieurs à x, le théorème des nombres premiers s'énonce de la façon suivante : Théorème des nombres premiers — Lorsque x \rightarrow +\infty, on a \pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}. (ln (x) désigne le logarithme naturel de x ; pour la signification de ce \sim, et du