Triangle équilatéral

orienté dans le sens direct. uuu Ùuuu r r p OAB est un triangle rectangle et isocèle tel que OA = OB et OA, OB º [ 2p ] . 2 ( ) on désigne par I le milieu du segment [AB] et par C et D les symétriques respectifs du point I par rapport à O et à B. (Voir figure) Soit f la similitude directe qui envoie A sur D et O sur C. 1. Montrer que f est de rapport 2 et d’angle p . 2 2. a) Montrer que O est l’orthocentre du triangle ACD. b) Soit J le projeté orthogonal du point O sur (AC)

− a) u (−5 ; 2) et v (m ; −2) → − → − b) u (m ; 3 − m) et v (2 ; −m) → − → − c) u (m − 4 ; 2m + 1) et v (2m ; 3 − m) Exercice 8 : Orthogonalité On donne A(−4; 1), B(−1; 2) et C(1; −4). −→ −− − −→ 1) Caculer BA · BC 2) En déduire la nature du triangle ABC Exercice 9 : Distance On donne les trois points A(1; 3), B(−1; 1) et C(3; −2). −→ −− − −→ 1) Caculer BC, puis BA · BC 2) On note H le projeté orthogonal de A sur (BC). −→ −− − −→ −− −− −→ −→ a) Pourquoi BA · BC = BH · BC ? b) Pourquoi H est-il

est un triangle rectangle en B Le côté le plus grand est AC. AC2 = 152= 225 AB2+ BC2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225 AC2 = AB2+ BC2 D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 
b.  2. a. Voir shéma b. Prouvons que (CB) // (FE) Dans le triangle ABC on a : E ∈ [AB] F ∈[AC] FA/AC = 5/15= 1/3 AE/AB = 3/9 = 1/3 Donc FA/AC = AE/AB D'après la réciproque du théorème de Thalès, (CB) // (FE) 3. Calcul de l'aire du triangle FEA Aire du triangle = (base

circonscrit d'un triangle rectangle 1. Conjecture avec TracenPoche a. Construis un triangle DEF. Construis ensuite son cercle circonscrit en utilisant les boutons À l'aide du bouton  l'angle DEF . et . , fais apparaître la mesure de b. En déplaçant le point de ton choix, fais varier la mesure DEF de l'angle  . Observe la position du centre du cercle circonscrit quand l'angle est aigu, quand il est obtus et quand il est droit. Que constates-tu ? 2. Démonstration a. Trace un triangle GHK, rectangle

points , , et sont-ils coplanaires ? Justifier. 2) On considère 2; 5; . Déterminer pour que , , et soient coplanaires. On considère 1; 1; √2 et √2; √2; 0 . est le symétrique de par rapport à . Déterminer les coordonnées de puis démontrer que est une triangle rectangle isocèle. Exercice 6 Exercice 7 On considère 1; 0; 1 , 2; 2; 1 , 5; 0; 1 et 2; 2; 1 Démontrer que est un parallélogramme. Est-ce un losange, un rectangle, un carré ? Exercice 8 est un cube. Les points et sont les milieux respectifs de 1)

mentale que peut être utilisée ici est celle de la propriété : « si la médiane [AO] d’un triangle ABC est telle que AO est la moitié de la longueur du côté opposé à A, alors le triangle est rectangle en A ». Construction d’une perpendiculaire à une droite donnée Etant donnée une droite (d) on se propose de construire une perpendiculaire (p) On utilise pour cela le fait que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes dans un point H. C’est ainsi que on trace O et B sur la droite (d) tels

74 8 Traitement de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9 Triangle et parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . © Hachette Livre 2007, Mathématiques 4e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. GÉOMÉTRIE 92 10 Triangle rectangle et cercle circonscrit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11 Distance – Tangente – Bissectrices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 8 Traitement de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 GÉOMÉTRIE 9 Triangle et parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 10 Triangle rectangle et cercle circonscrit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 11 Distance – Tangente – Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 12 Le théorème de

C HAPITRE 4 C OURS : T RIGONOMÉTRIE Extrait du programme de la classe de troisième : C ONTENU Triangle rectangle : relations trigonométriques C OMPÉTENCES EXIGIBLES Connaître et utiliser dans le triangle rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux côtés du triangle. Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées : – du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné – de l’angle aigu dont on

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Il est nommé d’après Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et, même si