Triangle équilatéral

sont parvenus. Le premier traite de la géométrie d'Euclide et de ses postulats (ou axiomes). Dans l'autre, il étudie les équations du second degré, mais aussi celles du troisième et quatrième degré. Khayyâm utilise assez souvent un équivalent du triangle de Pascal mais donne aussi certaines solutions géométriques aux équations. Il est à l'origine de la notion de polynôme. Il considère déjà que le rapport de deux grandeurs de même nature est toujours un nombre. AL-TUSI (1201 – 1274), persan : Il

relation de Pythagore x 2 (t)  y 2 (t)  1 . (x(t),y(t)) t 1 1 t (x(t),y(t)) Exemple : Trouver les coordonnées cartésiennes du point sur le cercle trigonométrique associé à l'angle   Après avoir situé l'angle dans le cercle, on peut définir un triangle isocèle et on trouve (x(),y()) 1  x 2 ( 4 )  y 2 ( 4 )  2x 2 ( 4 )  et x 2 ( 4 )  1 2 x( 4 )  y( 4 )  pascale.voirin@hefr.ch roseline.nussbaumer@hefr.ch  . 4 1 2 . 2 Rappels de trigonométrie Algèbre linéaire 1 4/11

GEOMETRIE : LES TRIANGLES Exercice 1 Recopier et compléter les chainons logiques suivants : a) b) c) d) Donnée : Les points A ; B et C sont tels que AB = 2 cm ; AC = 3cm et BC = 5cm Conclusion : … Exercice 2 Dans chaque cas, expliquer si la construction des trois points A, B et C est possible : a) b) AB = 12 cm et le périmètre du triangle ABC est de 20 cm Exercice 3 a) Ecrire une hypothèse puis compléter le plan de démonstration ci dessous Nature du triangle IBC ? PLAN

Activité « Défaut d'orthogonalité » : Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan. 1) Soit A(3;4) et B(-1 ; 1). Le triangle OAB est-il rectangle en O ? 2) Soit M(x ; y) et N(x' ; y') deux points distincts de O. a) Donner une condition nécessaire et suffisante sur OM² + ON² - MN² pour que OMN soit rectangle en O. b) Exprimer OM² + ON² - MN² en fonction de x, y, x' et y'. c) En déduire une condition nécessaire et suffisante sur x, y, x' et y' pour que OMN soit rectangle en O. ⃗ et ON ⃗ Bilan : OM²

Triangles et quadrilatères particuliers Exercices supplémentaires 1 Vocabulaire 1. Compléter les phrases suivantes par les mots ou les lettres manquants en choisissant parmi les mots « côtés », « sommets », « diagonales », « angles » ou les lettres A, B, C, D, E, F ou G. a. Les points A, B et C sont les trois - - - du triangle ABC. D B E A F C G b. c. d. e. Les Les Les Les points - - -, - - -, - - - et - - - sont les quatre sommets du quadrilatère DEFG. segments [AB], [BC] et [AC] sont les

v . On se propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B et C, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b et c, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a + b + c. Partie B – Étude d’un cas particulier On pose a = 3 + i ; b = −1 + 3i ; c = − 5 − i 5. 1. Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 2. Placer les points A, B, C et le point H d’affixe a + b + c, puis

XERCICE 2: U N AIR DE DÉJÀ VU 5 1 . 4 − x2 1. Déterminez l’ensemble de définition de f f est la fonction définie par f (x) = 2. Calculer l’image par f de −1 et t 3. Calculer l’image par f de . 2 6. E XERCICE 3: U N PEU DE GÉOMÉTRIE 6 ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = 5cm et BC = 6cm. H est le pied de la hauteur issue de A. D est un point mobile du segment [AB]. On note x la longueur AD DEFG est un rectangle tel que (DE) est parallèle à (BC). A 1. A quel intervalle appartient x ? 2

Correction 1 ÷ est un angle 1. La face AEHD est un carré : l’angle DHE droit. Le triangle EHD est un triangle rectangle. trace leur point d’intersection J. Or, la droite (M N ) appartient au plan (M N P ) et la droite (AC) appartient au plan (ABC) : le point J appartient à la droite (∆). D 2. La droite (AC) appartient au plan (ABC) et la droite (HG) appartient au plan (EHG) : les deux droites ne peuvent pas être sécantes. M 3. Les deux droites (DH) et (BF ) sont parallèles, on en déduit que les

ABC est un triangle rectangle isocèle en un point que l’on précisera. Soit I le milieu de [AB]. Calculer les coordonnées de I. Montrer que la droite (CI) est perpendiculaire à la droite (AB). Montrer que CI = 4. Calculer l’aire du triangle ABC. On considère un point M appartenant au segment [CI], la parallèle à la droite (AB) passant par M coupe la droite (AC) en N. On pose CM = ‫ݔ‬. Montrer que MN = ‫ݔ‬. 9) Déterminer ‫ ݔ‬pour que l’aire du triangle CMN soit le quart de l’aire du triangle ABC. 

base du prisme est un triangle de base 5 cm et de hauteur 3 cm, et si la hauteur du prisme est de 8 cm alors son volume est de : ….. Exemple : Calculer le volume d’un cube d’arête 7 cm. B - Cylindre de révolution : Volume : V=B×h V = π × r2 × h Exemple : Calculer le volume d’un cylindre de hauteur 8 m et dont la base a pour rayon 7 cm. II - Les solides avec pointe : A - Pyramides : Les pyramides ont pour base des polygones, et leurs faces latérales sont des triangles. S arête latérale hauteur