Variable aléatoire réelle

P(D) = PA(D)*P(A) + PB(D)*P(B) + PC(D)*P(C) Formule de Bayes : ( PA(D)*P(A) ) / ( P(D) = PA(D)*P(A) + PB(D)*P(B) + PC(D)*P(C) ) Chapitre 2 1) Variables aléatoires : Discrètes : X(Ω) fini ou fini dénombrable Continues : X(Ω) infini non dénombrable X(Ω) représente l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire X Loi de Probabilité : Si Pi = P(X=xi) représente la probabilité que X=xi pour chacune des valeurs possibles de xi ; alors (xi ; pi) constitue la loi de probabilité

face marquée i est proportionnelle au nombre i 1 1 1 2. On suppose dans la suite que p2 = ; p4 = et p6 = 6 3 2 On lance deux fois de suite le dé précédent, on note i le résultat du premier lancer et j le résultat du 2ème lancer On définit a variable aléatoire X qui au couple (i ; j) associe le nombre i – j a) Déterminer l’univers image de X. b) Déterminer la loi de probabilité de X. 1. Calculer p2, p4, p6. 1,5 pt ht t 1 pt 1,5 pt Baccalauréat C-E Cameroun _ Session de Juin 2009, Épreuve

probabilités que les individus estiment d’eux-mêmes et qui ne reposent pas sur des calculs statistiques. Ce chapitre présente les différents types d’événements auxquels les individus peuvent être confrontés avant de procéder au calcul de probabilités « réelles ». I. DEFINITIONS La probabilité d’un événement appelé A est le rapport entre le nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Elle est notée P(A). P( A ) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles L’événement contraire à l’événement

PROBABILITÉS CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) 1. Expériences aléatoires et modèles Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé … sont des expériences aléatoires, car avant de les effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat, résultat qui dépend en effet du hasard. A cette expérience aléatoire, on associe l’ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. ♦ ♦ ♦ ♦ Les sous-ensembles de l’univers

différentielle y' + 2y = 0 telle que la courbe représentative de f passe par le point A ( –3 ; 2 ) . 1.7. On jette trois fois de suite un dé non truqué. Si le joueur obtient au moins un multiple de 3 , alors il perd 3 € , sinon il gagne 6 € . On pose la variable aléatoire X égale au gain du joueur. Déterminer la loi de probabilités de X et calculer son espérance. 1.8. Dans un repère orthonormal de l'espace, on donne les points : A ( 1 ; 3 ; 0 ) , B ( –2 ; 1 ; 1 ) et C ( 4 ; 1 ; –2 ) . Démontrer que ces points

cicontre. →−ı 1 2 −→ O 1 Partie A 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. (On pourra écrire, pour x différent de 0 : f (x) = 1 x × x2 ex2 ). b. Démontrer que f admet un maximum en p2 2 et calculer cemaximum. 2. Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d’aire et en fonction de a, l’aire F(a) de la partie du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et x = a. Quelle est la limite de F(a) quand a tend vers +∞

Probabilités : explication de la théorie 1 Espace probabilisé. Une expérience aléatoire est une expérience qui peut être répétée et dont on ne peut pas prévoir l’issue. Exemple : Résultat du lancé d’un dé à six faces, temps d’attente du bus 4 place Pie à 16 heures, nombre d’éléments défectueux dans une chaine de montage chaque jour . . . Modélisation théorique : Il s’agit de définir l’ensemble des issues possibles de l’expérience : On notera Ω cet ensemble que l’on appellera « univers des

évènements aléatoires. Elle est en lien avec de nombreux objets mathématiques dont le mouvement brownien, le bruit blanc gaussien ou d'autres lois de probabilité. Elle est également appelée loi gaussienne, loi de Gauss, loi de Laplace ou toute combinaison de Laplace (1749-1827) et Gauss (1777-1855), deux mathématiciens, astronomes et physiciens qui l'ont étudiée. Plus formellement, c'est une loi de probabilité absolument continue qui dépend de deux paramètres : son espérance, un nombre réel noté , et

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé Variables discrètes finies - Exercices pratiques Exercice 1 - Loi d’un dé truqué - L2/ECS 1. X prend ses valeurs dans {1, . . . , 6}. Par hypothèse, il existe un réel a tel que P (X = k) = ka. Maintenant, puisque PX est une loi de probabilité, on a : 6 P (X = k) = 1 ⇐⇒ a k=1 6×7 = 1 =⇒ a = 1/21. 2 On a donc : k P (X = k) 1 2 3 4 5 6 1 21 2 21 3 21 4 21 5 21 6 21 On vérifie aisément en

(d) définie par :    x  t  1  (d)  y  t  3 (t est un paramètre réel). z  t  1  1) Ecrire une équation du plan (Q) déterminé par le point O et la droite (d). 2) a- Calculer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de O sur (d). b- Montrer que la distance du point O à la droite (d) est égale à 2 2 . 3) (P) est le plan d’équation (2m – 1) x – m y + (1 – m) z + 6m – 2 = 0 où m est un paramètre réel. a- Vérifier que H appartient à (P). b- Montrer que (P) contient la droite (d)