Variable aléatoire réelle

1 Introduction Il est toujours possible d’associer à une variable aléatoire une probabilité et définir ainsi une loi de probabilité. Lorsque le nombre d’épreuves augmente indéfiniment, les fréquences observées pour le phénomène étudié tendent vers les probabilités et les distributions observées vers les distributions de probabilité ou loi de probabilité. Identifier la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire donnée est essentiel car cela conditionne le choix des méthodes employées

présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est égale à 0, 003. On nomme X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 2 000 cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans ce lot. On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres. 1. La variable aléatoire donne le nombre de cônes défectueux et on suppose que les 2 000 tirages sont indépendants les uns

Présentation adéquate pour traitement ultérieur Données aberrantes, manquantes, non réponses, Vérification des données Modification des données Description Traitement des hypothèses outliers, etc. Recodage, transformation, remplacement, création de variables Indices descriptifs : tendance centrale, dispersion, etc. Selon la méthode utilisée et les hypothèses posées : choix des tests adéquats (vérification de leurs conditions d’application) Rappels Exemple Mise en forme des données Patient vu pour

nature possibles, on appelle variable aléatoire réelle une fonction X qui à un état de la nature ω associe le réel X (ω ) . En assurance, le résultat d’une compagnie sur une période donnée ou la charge agrégée de sinistres (d’une ou plusieurs garanties) peuvent être formalisés de cette manière. X pourra être caractérisée par sa fonction de répartition FX : FX ( x) = P{ω / X (ω ) ≤ x} = P{X ≤ x} . On appelle mesure de risque une fonction ρ associant à un risque X un réel positif ρ (X ). Le besoin

probabilités et de statistique inférentielle ........................................3 Rappels sur les lois de probabilités Rappels sur les intervalles de confiance 5 7 II. Sondage aléatoire simple ...................................................................................11 Rappels sur le sondage aléatoire simple 16 III. Plans à probabilités inégales ............................................................................18 Rappels sur les plans à probabilités inégales 20 IV

sur le caractère non exhaustif (voir votre dico !) des méthodes décrites ci-dessous… Les suites. Comment peut-on montrer qu’une suite est géométrique ? on montre que le quotient un +1 est constant (cad indépendant de n) ou encore qu’il existe un réel q un u1 pour connaître la raison, admettre le résultat et poursuivre le u0 indépendant de n tel que un +1 = qun . si on échoue, on calcule le quotient problème avec la bonne raison q… Comment peut-on montrer qu’une suite est monotone ? on étudie

CCF n°1 Durée : 2h00 Matériel fourni : formulaire de mathématiques Tous les calculs doivent figurer sur la copie. La note tiendra fortement compte de la rédaction qui devra donc être particulièrement soignée. Exercice 1 : Statistiques à deux variables Le tableau suivant donne l’évolution de la population de l’Inde de 1951 à 1991. Année 1951 1961 1971 1981 1991 Rang 1 2 3 4 5 Population (en millions) 361 439 548 683 846 Sauf consigne particulière, les résultats seront arrondis au millième

P(AnD̅) = 0.8942 4. On cherche PA(D) = P(AnD)P(A) = 0,00180,09842 = 0,002 Loi binomiale : 1. On répète 10 fois une expérience de type succès-échec où le succès est d’obtenir un sac dans défaut et qui a une probabilité de 0.97. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres 10 ; 0,97 2. P(X=10) = 0,9710X0,030 = 1X0,9710X1 = 0,74 3. P(X=10) = 0,979X0,031 = 1X0,979X0,03 = 0,23 4. P(X≥9) = P(X=9)+P(X=10) = 0,74+0,23 = 0,97 Exercice

de neige » -Echantillons probabilistes *Tirage au hasard: l’échantillon aléatoire consiste à tirer au hasard un individu de la population avec une probabilité connue et différente de zéro d’appartenir à l’échantillon. *Echantillonnage stratifié: il s’agit de répartir la population en classes appelées « strates » sur la base d’une variable de stratification. Dans le cas d’une étude sur des points de vente , cette variable pourra être le fait d’être client ou non. -Echantillons non probabilistes

On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10−3