Vecteur aléatoire

10 7    A=  1 4 3.    −2 −8 −6 On note I la matrice unité de M 3(IR) et on pose u = (2, 1, –2). 1) a) Montrer que Ker f = vect(u). b) La matrice A est-elle inversible ? 2) a) Déterminer le vecteur v de IR3, dont la 2ème coordonnée dans B vaut 1, et tel que f (v) = u. b) Démontrer que le vecteur w de IR3, dont la 2ème coordonnée dans B vaut 1, et qui vérifie f (w) = v est w = (0, 1, –1). c) Montrer que (u, v, w) est une base de IR 3 que l’on notera B’. On note P la matrice de passage de la

différents canaux. 2 Capacité d’un canal MIMO Nous considérons maintenant un lien MIMO où l'émetteur et le récepteur sont équipés de N et M antennes respectivement comme illustré dans la figure 1. Dans ce cas, la relation entre le signal vecteur ( N  1) émis X  ( x1 ,..., x N ) T et celui ( M  1) reçu y  ( y1 ,..., y M ) T où (.) T désigne la transposée, est donnée par la relation suivante : y  PH x + z (1) où H = [ hij ] (i = 1, ... ,N et j = 1, ... ,M) représente la matrice

de la théorie du calcul stochastique. Chaine de Markov en temps discret: Définition: Les processus stochastiques : définition et classification Définition: Un processus stochastique {X_{t},t∈T} est une collection de variables aléatoires indexées par un paramètre t et définies sur un même espace de probabilités (Ω,F,P). La variable X_{t} représente l'état du processus au temps t et l'ensemble de toutes les valeurs possibles pour cette variable est appelée l'espace des états

singulières, développer le produit matriciel suivant : ? = ?? + ?? ′ ?? −? + ?? ′ Exercice 2 : On considère :  ?? , ?? , … ?? ? vecteurs colonne de ℝ?  ? le vecteur unitaire de ℝ? : ? = ?, ?, … , ? ?  La matrice ?? = ?? − ??′ ′ ? ?′?  ? une matrice de dimension ?, ? dont l’ième ligne est ?′? : ? = ⋮ ?′? ?  ? un vecteur colonne de ℝ (les moyennes des lignes de la matrice ?′ ou les moyennes des colonnes de la matrice ? 1) Montrer que : a) ? ?′ ? b) ??

SÉRIES TEMPORELLES Patrick Sillard 5 janvier 2007 TABLE DES MATIÈRES Table des matières I Rappels de probabilités 1. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . 2. Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Covariance et corrélation . . . . . . . . 5. Fonction de répartition conjointe . . . 6. Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . 7. Règle de calcul des espérances . . . . . 8. Loi Gaussienne ou normale . . . . . . 9. Estimation . .

Introduction La loi normale (ou de Laplace-Gauss) est la loi de certains phénomènes continus qui fluctuent autour d’une moyenne , de manière aléatoire. La dispersion des valeurs observées d’un même caractère gaussien est représenté par un écart type . L’objectif de ce projet est d’étudier et de simuler la loi normale centrée réduite c’est à dire la loi normale avec les paramètres et . Pour cela, on a étudié différents algorithmes fondés sur le théorème central limite, sur la méthode

points Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment Partie A Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale N µ, σ2 de moyenne µ = 84 et d’écart-type σ. De plus, on a P (X 64) = 0, 16. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous. 16 % 10 20 Pondichéry 30 40 50 60 64 70

Abdeslam Kadrani, INSEA–Rabat Processus Stochastique Distribution initiale et comportement transitoire Comme dans le cas à temps discret, l’état initial (au temps t = 0) de la chaîne est choisi selon une distribution initiale donnée par un vecteur de probabilité p(0) = (pj (0))j∈E vérifiant: pj (0) = P[X0 = j] ∀j ∈ E La probabilité d’observer le processus dans l’état j au temps t vérifie: l’équation de Fokher-Planck pj (t) = k∈E pk (t)qkj , j ∈ E, soit sous forme matricielle p (t) =

Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 1.1 La méthode de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 1.2 Simulation d’une loi uniforme sur [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 1.3 Simulation des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 1.4 Simulation de processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 2 Quelques algorithmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 2.1 Approximation de la fonction