Vecteur aléatoire

de classe C k , k ∈ N ∪ {∞}, si les fonctions fi sont de classe C k . D ÉFINITION I.1.2. n Soit U un ouvert de Rn . On appelle champ de vecteurs sur U une application X = (Xi )i=1 de U dans Rn . On dit que X est k k de classe C , k ∈ N ∪ {∞}, si les fonctions Xi (de U dans R) sont de classe C . Les 1-formes différentielles f = ∑ni=1 f dxi et les champs de vecteurs X = (Xi )i=1 sont mis en dualité par la formule n n f , X (x) = ∑ fi (x)Xi (x). i=1 Exemple I.1.1 (Exemple fondamental). Soit U un ouvert

A; Ω et J sont alignes EXERCICE2 on dispose de deux dés en apparence identiques dont l' un est parfait et l' autre truqué. Les faces de chacun sont numérotés de 1à6 1 3 1)a) on lance le dé parfait 3 fois de suite on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de fois ou la face portant le chiffre 4 apparait quelle est la loi de X b) On lance le dé truque 3 fois de suite ; quelle est la probabilit é d' obtenir exacement deux fois la face portant le chiffre 4 2) On choisi au hasard l'

Introduction au calcul des probabilités 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire . . . . . . . . 1.1.1 Un exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Mesures et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . 1.2 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

conditionnelle de A sachant que B est p ( A  B) réalisé : pB  A   p( B ) Formule des probabilités totales : Si les événements B1 , B2 , …, Bn forment une partition de  alors p  A  =p  A  B1  +p  A  B 2  +...+p  A  B n  Variable aléatoire : somme des valeurs de la loi de probabilité = 1 n Espérance mathématique : E  x    pi xi i 1 Fonction de répartition : F x   P  X  x  2 Variance : V  x    pi  xi  E  x     pi xi2   E  x   i 1 i 1 n

COMPLÉMENT III Simulation de variables aléatoires Références : Modélisation stochastique et simulation, B. Bercu et D. Chafaï Pour Scilab, non testé : Introduction à scilab, P. Chancelier, ed. Springer. Algorithmique et mathématiques : travaux pratiques et applications scilab pour le lycée et la licence, J. Ouin, ed. Ellipses On trouve aussi facilement des tutoriels et manuels d’introduction à scilab sur internet. Le problème qu’on se pose dans ce chapitre est l’écriture d’algorithmes qui

méthode 22 2.2.3 Lissage exponentiel de Holt-Winters 22 2.3 Prévision par la méthode de Box & Jenkins .25 2.3.1 Concepts des séries chronologiques 25 2.3.1.1 Processus stochastique 25 2.3.1.2 Processus aléatoires stationnaires 25 2.3.1.2.1 Caractéristiques d'un processus aléatoire stationnaires ..26 2.3.1.3 Les opérateurs de Box & Jenkins 28 2.3.1.3.1 Les effets des opérateurs de Box & Jenkins 29 2.3.2 Les processus ARMA 30 2.3.2.1 Le théorème de décomposition de Wald 30 2.3

k0 ⎟ de vecteurs unitaires i0 , j , k 0 ,.les 0 ⎝ ⎠ coordonnées cartésiennes de M point mobile dans R0 sont x(t), y(t),et z(t). On appelle vecteur position de M dans R0 le vecteur OM = x(t ). i0 + y (t ). j0 + z (t ). k 0 . b) −−−−−> −−−−−> → → → Vecteur vitesse de M par rapport à R0 −−−−−> ⎡ d −−−−−> ⎤ OM ⎥ on note V ( M / R0 ) = V ( M / 0 ) = ⎢ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ R0 avec O origine du repère R0 .Le vecteur vitesse est tangent en M à la trajectoire. c) −−−−−> Vecteur accélération

1, 1), on a f(v1 ) = v1 , f(v2 ) = v2 et f(v3 ) = 4v3 . De plus, si 1 1 1 P est la matrice de la famille (v1 , v2 , v3 ) dans la base canonique B0 , det(P) = −1 0 1 = 1 + 2 = 3 = 0. Donc 0 −1 1 B = (v1 , v2 , v3 ) est une base de R3 constituée de vecteurs propres de f. On en déduit que f est diagonalisable. q(v1 ) = 1 j(v1 ) = 0, q(v2 ) = 0 et q(v3 ) = v3 et donc matB (q) = diag(0, 0, 1) puis matB (p) = I3 − matB (q) = diag(1, 1, 0). 3 Si v1 = (1, −1, 0), v2 = (1, 0, −1) et v3 = (1, 1, 1) puis B =

portés par les vecteurs propres de C, la longueur de chacun d’eux indiquée par la valeur propre correspondante. Ainsi, le vecteur propre correspondant à la plus grande valeur propre donne la direction de plus grande dispersion du nuage de points. 90 Chapitre 5 Analyse en composantes principales P1 0.6 0.4 Voie C 0.2 P2 0 -0.2 1 0.5 0 0 -0.5 -0.2 0.2 P3 0.6 0.4 Voie B Voie A Figure 3: La boucle représentée ici est la trace temporelle du vecteur cardiaque pendant

matrice de Mn (C), on pose pour tout entier 1 ≤ i ≤ n : n ri = j=1 |ai j | et Di = {z ∈ C, |z| ≤ ri }.   x1 x  Pour X =  2  ∈ Mn,1 (C), on note X . xn  ∞ = max |xi |. 1≤i≤n 6.  x1 x  Soit λ ∈ Sp(A) et X =  2  un vecteur propre associ´ ` λ. ea . xn Montrer que pour tout entier 1 ≤ i ≤ n : |λ xi | ≤ ri X ∞ . n 7. 8. D´montrer que Sp(A) ⊂ e k=1 Dk . Soit P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 un polynˆme de C[X], ´tablir que toutes les o e racines de