Vecteur aléatoire

 Jahidi 5 Techniques extrapolatives Observations sur une seule variable Le passé est utilisé pour prévoir le futur à court  terme (CT) t  (CT) Les observations passées sont décomposées  en un niveau moyen, un facteur saisonnier et  un facteur aléatoire R. Jahidi 6 Niveau de précision? L’utilité première de la prévision: réduction de  l incertitude l’incertitude Les coûts de la prévisions dépendent du  niveau de précision recherché, et donc des  d é h hé d d techniques utilisées, des données utilisées

Chapitre III variables aléatoires discrètes. 1. 1°) Un dé cubique D1 comporte 3 faces marquées 1, 2 faces marquées 2, 1 face marquée 3. On lance le dé D1, on note X1 le nombre obtenu, Déterminer la loi de X1 son espérance, sa variance. 2°) Mêmes questions pour X2 le nombre obtenu en lançant un dé D2 comportant 3 faces marquées 4, 2 faces marquées 5, 1 face marquée 6. 3°) On lance D1 et D2 simultanément, Calculer l'espérance de Z = X1+ X2. Vérifier en déterminant la loi de Z. 2. On

un décalage entre la valeur vraie et la valeur mesurée (décalage fixe ou à variation lente). - Ce type d’erreur est difficile à compenser, nécessite un étalonnage précis de la chaîne de mesure. - Les erreurs statistiques - C’est une variation aléatoire de la valeur mesurée autour de la valeur la plus probable. Cette erreur suit une loi statistique particulière. (nécessite de connaître le modèle probabiliste du système mesuré) •CMI 2009-2010 P. NAYMAN 20 Les erreurs statistiques La présence

Notations : Le modèle à estimer s’écrit : yt = a1xt + a0 + εt avec par exemple t = 1980, 1981,…, 2004 (qui peut être remplacé par un nombre : t = 1,2,…,T ) où t est la date à laquelle on observe la valeur de yt et de xt et εt est une variable aléatoire représentant l’erreur de spécification dont les caractéristiques seront précisées au cours de l’énoncé des hypothèses du modèle. On introduit la variable εt pour marquer le fait que toute modélisation d’un phénomène ne peut pas être parfaite.

cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts a et b. On définit l’évènement E : « quatre montres au moins n’ont aucun défaut ». Calculer la probabilité de l’évènement E. On en donnera

. . . . . . . . . . 63 63 63 63 64 64 64 65 65 67 67 67 68 68 69 70 70 72 74 76 76 6 Modèles stochastiques 6.1 Concepts de base . . . . . . . . . . . 6.2 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . 6.2.1 Variables aléatoires discrètes 6.2.2 Variables aléatoires continues 6.2.3 Espérance mathématique . . 6.2.4 Variance . . . . . . . . . . . . 6.3 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . 6.3.1 Loi de Bernouilli . . . . . . . 6.3.2 Loi uniforme . . . . . .

Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie novembre 2003 Exercice 1 Commun tous les candidats 4 points 1. L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale est np. Ici 10 E(S n ) = np = 10 donc p = . Si S n est la variable aléatoire totalisant le nombre n 10 n−k 10 k 1− pour 0 d’accidents, on a P(S n = k) = n p k (1 − p)k = n k k n n k n. 10 n . 2. a. On en déduit que [P(S n = 0)] = n p 0 (1 − p)n = 1 − 0 n En supposant n > 10, on obtient, en prenant le logarithme ln [P(S n = 0)] = 10 10 ln

entre variables. On applique usuellement une ACP sur un ensemble de N variables aléatoires X1, …, XN connues à partir d'un échantillon de K réalisations conjointes de ces variables. Cet échantillon de ces N variables aléatoires peut être structuré dans une matrice M à K lignes et N colonnes. Chaque variable aléatoire Xn = (X1, n, …, XK, n)' a une moyenne et un écart type óXn. Chaque composante est un vecteur propre de la matrice de covariance des données dont la variance est /\i . Les combinaisons

partie entière de x et on rappelle que ⎣ x ⎦ est le seul entier vérifiant : ⎣ x ⎦ ≤ x < ⎣ x ⎦ + 1. On considère une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (avec λ > 0). On note F sa fonction de répartition. On pose X1 = ⎣ X ⎦ , X2 = ⎣ 10( X − X 1 )⎦ et l’on admet que X1 et X2 sont des variables aléatoires définies elles aussi sur (Ω, A, P). 1) a) Déterminer X1(Ω). b) Pour tout k de X1(Ω), exprimer P(X1 = k) à l’aide de F. c)

dv = γ (v − v ) dt + ξ vε 2 dt avec ν , le niveau à long terme de la variance ; γ , la vitesse de retour de la variance vers son niveau de long terme ; ξ , un facteur d’échelle de la volatilité et ε 2 ~N(0,1)1. On suppose que les deux termes aléatoires ε1 et ε 2 sont corrélés. A partir de ce modèle, nous voulons calculer le prix d’un call européen d’un an écrit sur une obligation à coupon 0 de deux ans qui verse 100$ à son échéance. Le prix d’exercice de cette option est de 90$. Les paramètres