Vecteur aléatoire

Changement de bases 1. Position du problème On considère un espace vectoriel de dimension , dont on connaît une base On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de

d’un point En dérivant (par rapport au temps) le vecteur position OM (t) , dans le repère ℜ, nous obtenons :  dOM  V(M∈S/R) =   = OM .ω (t ).t = r .ω (t ).t  dt ℜ T (M ∈ S / R) Remarque : puisque ω(t) a même valeur pour tous les points du solide, la vitesse linéaire V(M∈S/R) varie linéairement avec la distance r à l’axe de rotation. t V ( M ∈ S / R) M n _P V _N V 7.2. Accélération En dérivant (par rapport au temps) le vecteur vitesse O N P θ( t) r=OM x V(M∈S/R)

la chute libre, déterminer les coordonnées ax et az du vecteur accélération du centre d'inertie du projectile dans le repère indiqué. 4. Donner l'expression des coordonnées du vecteur vitesse initiale v0 , notées v0x et v0z , en fonction de v0 et a. 5. On appelle vx(t) la composante horizontale du vecteur vitesse et vz(t) sa composante verticale. Déterminer l'expression des composantes horizontale et verticale vx(t) et vz(t) du vecteur vitesse du système au cours de son mouvement. 6. En

propre associ´e e Ainsi, α = 2 2 au vecteur propre X. Le sous-espace propre associ´ est donc de dimension 1. e L’homoth´tie u0 est diagonalisable. Dans le cas g´n´ral, uλ l’est ´galement e e e e puisque la somme des dimensions des sous-espaces propres est ´gale ` n + 1, e a qui est la dimension de E. Exercice 2.2. Soit E un espace vectoriel r´el de dimension finie n 2 et E1 , E2 deux souse espaces vectoriels de E, suppl´mentaires dans E et non r´duits au vecteur e e nul. Soit u1 ∈ L(E1 ), u2 ∈ L(E2

également : FICHE SYNTHESE : DIAGONALISATION DES MATRICES A- VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES Définitions : Soit A une matrice carrée d’ordre n, on appelle : * Valeur propre de A tout nombre tel qu’il existe une matrice colonne non nulle X vérifiant : * Vecteur propre de A toute matrice colonne X non nulle telle qu’il existe vérifiant : * Soit A une matrice carrée d’ordre n, on dira qu’elle est

Exemple : Application à l’acoustique [pic] & [pic] [pic] Equation d’Euler-Lagrange : [pic] Tenseur Energie-Impulsion : [pic] [pic] [pic] Conservation : [pic] : [pic] [pic] Vecteur intensité acoustique [pic][pic] [pic] Conservation pour i = 1, 2, 3 : [pic] [pic] 4. L’Action pour un champ vectoriel (« spin 1 ») : Construire [pic] (1.) Milieu linéaire : forme quadratique [pic] (2.)

OP = (OM , ON ) décrit la trajectoire de phase du mobile. Pour un mouvement à un degré de liberté, le point de phase P se déplace dans le plan de phase : —➞ OP = (x(t), v(t)). ◗ VITESSE D’UN POINT Soit O un point fixe du référentiel ᏾ . Le vecteur vitesse de M par rapport à ce référentiel est : —➞ dOM v➞(M)/ ᏾ = ᎏ / ᏾ dt ➞ · ➞ · ➞ ·➞ Expression en coordonnées cartésiennes : v (M) = • / ᏾ x ex + y ey + z ez . ΂ • Expression en coordonnées cylindriques : ΃ y er eθ

6 ÉTAPES Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2 A= 1. A est diagonale si A = a b , c d λ1 0 ; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A − xI2 ). Ici pA (x) = det A = 1 2 x 0 − 2 1 0 x = det 1−x 2 2 1−x = (1 − x)2 − 2 · 2 =

f= @2f @2f @2f + 2 + 2 2 @x @y @z ! Exercice 2 Soit le champ de vecteurs V (M ) = (x2 + y 2 ! ! ! ! ! (x2 z) k : calculer divV; (Rot V ; div(Rot V ) Exercice 3 Soit f : R3 ! R dé…nie par f (x) = x2 ! z) i + (2xy ! yz) j + x : + y2 + z2 ! ! ! calculer Gradf; Rot(Gradf) ; 0.2 Dérivées directionnelles Exercice 4 a)Trouver la dérivée directionnelle du champ: U = 2x3 y ! en P(1,2,-1) dans la direction dé…nie par le vecteur P Q; Q(3; 1; 5) 3y 2 z; b) Dans quelle direction cette dérivée est-elle

Vecteurs et torseurs I. Rappels de quelques notions fondamentales. 1. Grandeurs physiques. Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité. Exemple : La température s’exprime en degré Kelvin (K). Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ avec norme de ⃗ , ‖ ⃗ ‖ et AB distance entre les points A et B. 2. Unités. Le système international est basé sur les 7 grandeurs