Vecteur aléatoire

quelconque. Si nous nous limitons a` l’onde progressive, E et B ne seront fonction que du temps et de la distance parcourue suivant la normale n au plan d’onde. Dans ce cas on peut ´ecrire : E(t − B(t − n.r ) c n.r ) c avec r = (x, y, z) vecteur position correspondant au point M o` u l’onde est consid´er´ee. n.r En posant u = (t − c ) il vient : ∂E = ∂∂tE ∂u ∂B = ∂∂tB ∂u ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z = = = ∂ ∂u ∂u ∂x ∂ ∂u ∂u ∂y ∂ ∂u ∂u ∂z 6 ∂ = − αc ∂u ∂ = − βc ∂u ∂

z) telles que : x = abscisse de M ; y = ordonnée de M ; z = côte de M. x = Pr oj Ox OM ; 0 y = Pr ojOy OM 0 ; z = Pr oj Oz OM . 0 z M k O j y i x y0 m x0 Dans R0 , le vecteur position s’écrit : OM = Om + mM = x i + y j + z k . Déplacement élémentaire. Le vecteur déplacement élémentaire MM ' (M’ est rès voisin de M) s’écrit: MM ' = d OM = d M = dx i + dy j + dz k (Dans R0 , d i = d j = d k = 0 ) II] Systèmes de coordonnées cylindriques. ] Si la trajectoire

Amérique du Sud 2004 Exercice 1 Mouvements plans (4pts) Calculatrice autorisée 1.1. Le projectile est soumis uniquement à son poids. D'après la deuxième loi de Newton: = m. soit m.= m. donc = Ainsi l'affirmation est vraie, le vecteur accélération du centre d'inertie du projectile ne dépend pas des conditions initiales. 1.2. D'après le 1.1. on a = Par projection suivant l'axe vertical Oz, aGZ = – g Or aGZ = donc vGZ = – g.t + V0z soit vGZ = – g.t + V0.sin  vGZ varie au cours du temps, donc

. . 35 ´ Etude eulerienne des d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Transport d’un petit segment : tenseur gradient de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Transport d’un champ de vecteurs : d´eriv´ee particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3 Transport d’un petit volume : divergence de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 Table des mati` eres 2.3 2.4 2.2.4 Transport d’un produit scalaire : tenseur

de propagation? Expliquer pourquoi on peut dire que cette onde est plane. Quelle est la nature de l'onde (longitudinale ou transversale)? Quelle est l'amplitude A de cette onde? Calculer la pulsation ω, la vitesse de propagation V et le module du vecteur d'onde k. 2/ Quels sont les points du tuyau où l'onde est déphasée de π/3 par rapport à la source située à l'origine (x=0)?, Exprimer la distance de ces points à la source en fonction de la longueur d'onde λ. 3/ Quelle différence de phase existe-t-il

: Hz . . . ). e • – Les vecteurs sont identifi´s par l’identificateur en caract`re gras (e.g. E). e e – Les composantes d’un vecteur sont sp´cifi´es par l’entremise de leur coordonn´e e e e mise en indice inf´rieur (e.g. Ex ou Eθ ). e – Les phaseurs et les quantit´s complexes qui en d´coulent, avec un module et e e une phase, sont plutˆt repr´sent´s par leur identificateur surmont´ d’une barre o e e e ¯ ¯ ¯ (e.g. E, Eθ ou Zi ). – Ainsi, les vecteurs-phaseurs sont identifi´s par

d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Valeurs propres, vecteurs propres 1 1 1 Proposition 5 : E un K-ev, u ∈ (E) admettant un pomi πu , si F est un sous espace vectoriel de E u-stable, v = u/F, alors π v /πu . 3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Diagonalisation Trigonalisation

torseur est un champ de vecteurs équiprojectif, champ dont les vecteurs [pic]en chaque point P s'appellent « moments » du torseur. De par les propriétés d'un tel champ, les moments en deux points P et O vérifient la relation de Varignon : [pic]. Un moyen mnémotechnique de la retenir est la dénomination "formule de BABAR" : [pic], où le vecteur [pic](associé de façon unique à tout champ équiprojectif), s'appelle résultante du torseur. Un torseur est donc déterminé par deux vecteurs, constituant sa "réduction"

2 − 1)P − 2nXP. Vérifier que f est un endomorphisme de R2n [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f . f est-il diagonalisable ? Correction [005654] Exercice 5 *** Soit E = R3 [X]. Pour P élément de E, soit f (P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = X 4 − 1 et B = X 4 − X. Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655] Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format

réels appelés coordonnées de M. Selon les besoins, on peut utiliser : ♦ ♦ ♦ les coordonnées cartésiennes (x,y,z) (projections sur Ox, sur Oy, sur Oz) les coordonnées cylindriques (ρ,θ,z) les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) r par son vecteur position r = OM . Ce vecteur peut se décomposer sur différentes bases de projection : r r r r r r r r ♦ sur la base cartésienne ( u x , u y , u z ) : r =x u x + y u y + z u z . Les composantes de r se confondent alors ♦ ♦ (et dans ce cas seulement) avec les coordonnées