Vecteur position

Vecteurs et torseurs I. Rappels de quelques notions fondamentales. 1. Grandeurs physiques. Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité. Exemple : La température s’exprime en degré Kelvin (K). Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ avec norme de ⃗ , ‖ ⃗ ‖ et AB distance entre les points A et B. 2. Unités. Le système international est basé sur les 7 grandeurs

séance précédente nous avons analysé le nuage de points individus dans l'espace des variables. Réécrire le programme IML sous SAS afin d'obtenir les informations suivantes : - la matrice de dispersion des individus V - les valeurs propres et les vecteurs propres associés à cette matrice V - les coordonnées des projections des variables sur le plan factoriel 3) Quelle est l'inertie totale (la dispersion) du nuage des points variables dans l'espace des individus ? Quelle est l'inertie de la projection

numéro k de X. Les vecteurs sont supposés normalisés:          ||xk|| = 1          A = [aj,k] = matrice d'ordre J * K des activations des J cellules de sortie pour les K stimuli. L'activation de l'ensemble du réseau pour le stimulus numéro k est donnée par le vecteur ak (colonne numéro k de A).          O = [oj,k] = matrice d'ordre J * K des réponses des J cellules de sortie pour les K stimuli. La réponse de l'ensemble du réseau pour le stimulus k est donnée par le vecteur ok (colonne numéro

ou copie interdites sans citation 3/ Comment exprimer simplement R ? On décompose la matrice des écarts à l’indépendance en une somme de matrices.. R = T1 + T2 .. Chacune de ces matrices étant mise en facteur (le produit d’un vecteur ligne et d’un vecteur colonne). T1 = C1L1 (une matrice dont la plus petite dimension est N « rang N » est décomposable au maximum en N matrices pouvant se mettre en facteurs … ici T = T0 + T1 + T2). T est de rang 3, mais R est de rang 2…. août 10 Utilisation

Introduction. 3 En ce qui nous concerne, un champ de vecteurs sur un ensemble Ω ⊂ Rn sera simplement une fonction ` valeurs dans Rn . Si F est un champ de a vecteurs sur un sous-ensemble ouvert Ω, on d´finit la d´riv´e directionnelle e e e ∂F par ∂F = F · ∇, soit, en d’autres termes, si u est une fonction diff´rentiable sur Ω, e n ∂F u(x) = F (x) · ∇u(x) = Fj (x)∂j u(x). j=1 Enfin, si F est toujours un champ de vecteurs, on appelle divergence de F et on note div F la fonction div

et son e orthogonal et est non nul : c’est une contradiction. Finalement rg(B) ∈ {0, 2} 2 B.2 Si B = 0 alors le r´sultat demand´ est imm´diat avec β = 0 et P = I3 . Sinon, B est de rang 2 e e e et son noyau est de dimension 1. Notons e1 un vecteur norm´ de ce noyau et compl´tons en une e e b.o.n. B = (e1 , e2 , e3 ) de R3 . (e2 , e3 ) est une base de ker(uB )⊥ et cet espace est stable par uB . On 0 0 en d´duit que dans B, uB est repr´sent´e par une matrice du type e e e o` B ∈ M2 (R). u 0 B

considérées séparément pour obtenir les ratios avantages/coûts. hiérarchie pour le choix de matériel destiné à la fabrication d'uréthane. Trois critères principaux sont retenus: le prix, les caractéristiques techniques et la performance. Une fois les vecteurs priorités obtenus, nous calculons le ratio avantage/coût de chaque machine Avantage « A » / coût « A » le ratio le plus élevé signifie la meilleure alternative. 15 16 4 ING 802 - Analyse de Faisabilité 2- Importance relative des éléments

(A-2I3)= Vect ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 4 ⎟ , Ker (A-3I3)=Vect ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 4 ⎟ et ⎜ − 3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ La matrice de passage de la base (e1, e2, e3) à la base des trois vecteurs propres ⎜ − 5 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ est : 3 2⎤ ⎡6 ⎡1 0 0⎤ ⎢− 5 − 4 − 3⎥ et Ρ −1 AΡ = ⎢0 2 0⎥ Ρ=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎢0 0 3 ⎥ 1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ b) • La famille (e1, b(e1)=e2, b2(e1)=e3) est une base de E et b est cyclique. • Le polynôme caractéristiques de B est :

s’obtient par : A-1 = 1 * A* où A* est la transposée de la matrice des cofacteurs (Ct en informatique) det A A* est aussi appelée adjointe de A. VI.Direction, vecteurs et valeurs propres d’une matrice carrée Soit une matrice A, on appelle X vecteur propre de A tout vecteur tel que A X = λ I X où I = identité λ = scalaire associé au vecteur propre X que l’on appelle valeur propre. Dans la pratique, on détermine d’abord λ et ensuite X. AX=λIX AX-λIX=0  (A - λ I) X = 0 Ce système admet une solution

Soit M la matrice de R4 suivante [002579]  0 2 M= 0 0  1 0 0 0 −1 0  7 0 6 0 3 0 1. Déterminer les valeurs propres de M et ses sous-espaces propres. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4. On a D = P−1 MP, pour k ∈ N exprimer M k en fonction de Dk , puis calculer M k . Correction [002580] 1 2 Partiel Exercice 4 Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique