Vecteur position

1, 1), on a f(v1 ) = v1 , f(v2 ) = v2 et f(v3 ) = 4v3 . De plus, si 1 1 1 P est la matrice de la famille (v1 , v2 , v3 ) dans la base canonique B0 , det(P) = −1 0 1 = 1 + 2 = 3 = 0. Donc 0 −1 1 B = (v1 , v2 , v3 ) est une base de R3 constituée de vecteurs propres de f. On en déduit que f est diagonalisable. q(v1 ) = 1 j(v1 ) = 0, q(v2 ) = 0 et q(v3 ) = v3 et donc matB (q) = diag(0, 0, 1) puis matB (p) = I3 − matB (q) = diag(1, 1, 0). 3 Si v1 = (1, −1, 0), v2 = (1, 0, −1) et v3 = (1, 1, 1) puis B =

matrice de Mn (C), on pose pour tout entier 1 ≤ i ≤ n : n ri = j=1 |ai j | et Di = {z ∈ C, |z| ≤ ri }.   x1 x  Pour X =  2  ∈ Mn,1 (C), on note X . xn  ∞ = max |xi |. 1≤i≤n 6.  x1 x  Soit λ ∈ Sp(A) et X =  2  un vecteur propre associ´ ` λ. ea . xn Montrer que pour tout entier 1 ≤ i ≤ n : |λ xi | ≤ ri X ∞ . n 7. 8. D´montrer que Sp(A) ⊂ e k=1 Dk . Soit P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 un polynˆme de C[X], ´tablir que toutes les o e racines de

pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π 3 . 0 0 π   Exercice 3 - Avec un param`tre - L2/Math Sp´ e e Soit

Z1 2 ) Var [Z1 1]Var [Z1 2 ] ait une valeur maximale sous la contrainte: Var [Z1 1] = Var [Z1 2 ] = 1: Remarques : * 1. Z1 1 est donc le premier vecteur propre de P1P2 Z1 2 est donc le premier vecteur propre de P2P1,où: * P1 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X1 P2 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X2. * 2. Z1 1

Partie A Une urne contient n boules blanches (n dans N), 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne. 1. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules blanches ? 2. On note p(n) la probabilité de tirer 2 boules de même couleur. a) Montrer que b) Calculer . . Interpréter ce résultat. Partie B Pour les questions suivantes n = 4. 1. Calculer p(4) . 2. Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard 2 boules de l'urne. Un joueur effectue 2 tirages

les βj sont des entiers naturels non nuls. Une telle décomposition peut être obtenue en commençant par décomposer sur C puis en regroupant les facteurs conjugués. 2 2.1 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres Valeur propre. f ∈ L(E) et λ ∈ K, E de dimension quelconque. → → − → → λ est valeur propre de f si et seulement si il existe − = 0 tel que f(− ) = λ− x x x si et seulement si f − λIdE n’est pas injectif → − si et

est la matrice de g = f 2 dans la base {e} ? 2. Quels sont les vecteurs propres et les valeurs propres de g ? 3. Montrer que si λ est une valeur propre de f , alors µ = λ2 est valeur propre de g. 4. En déduire les seules valeurs propres possibles pour f. 5. Pour un vecteur x quelconque de E, montrer que : f(x) + 2 x ∈ Ker (f − 2 idE ) f(x) − 2 x ∈ Ker (f + 2 idE ) 6. Construire un système de générateurs de E formé de vecteurs propres de f. 7. Diagonaliser f , soit directement, soit en utilisant

coefficient associé. Nous allons chercher à trouver les visages propres ; tout d’abord, nous devons prendre un nombre M de visages d’apprentissage. Chacune de ces images, qui sont en pratique des matrices N x N sont alors transformées en un unique vecteur colonne de longueur N2. Matrice N x N initiale : transformée en : Nous devons par la suite déterminer le visage moyen, déduit des M visages d’apprentissages. Ce visage moyen va servir dans l’analyse d’images, on soustrait en effet ce visage

univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html Sous-sections • • • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne. Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en

matrice quelconque ] Cette matrice a pour dimension 4×4 Elle comporte 4 lignes et 4 colonnes C'est une matrice carrée Cette matrice a pour dimension 1×5 Elle comporte 1 lignes et 5 colonnes C'est un vecteur ligne Cette matrice a pour dimension 5×1 Elle comporte 5 lignes et 1 colonnes C'est un vecteur colonne 1 / 10 Classe de Première ES, option Maths (603 – 605) b. Vocabulaire • • Les nombres dans les matrices se nomment : les coefficients de la matrice On note a ij le coefficient à l'intersection