Vecteur propre

structures mécaniques à N d.d.l I.1 – INTRODUCTION L’analyse modale expérimentale des structures mécaniques a pour objectif essentiel la détermination des caractéristiques dynamiques d’une structure réelle, c'est-à-dire les fréquences, modes et formes propres ainsi que les amortissements modaux. Cette discipline a connu un essor important ces derrières années en raison de la miniaturisation et de l’augmentation des performances des systèmes informatisés d’acquisition et de traitement numérique des signaux

Reconnaissance de visage TIPE Table des matières : Introduction 3 1- La reconnaissance de visage 4 1.1- Les faces propres : la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 1.2- Les faces propres : l’implantation pratique . . .. . . . 9 2 -L’interface graphique 15 2.1- Fonctionnement général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2- Implantation python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Conclusion ANOUAR BAYARI MPSI 3 20 Page 2 Reconnaissance

libre : Expérience : fiche élève 3 On a représenté ici la chronophotographie d’une chute libre. Les positions sont relevées toutes les 33 ms. Les positions relatives du centre d’inertie G de la bille sont alignées mais pas équidistantes. Donc son vecteur vitesse garde le même sens, la même direction, mais a à chaque r instant une valeur différente : vG ≠ cte L’expérience étant faite dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, si le solide était pseudo isolé, son centre d’inertie G aurait un mouvement

moment résultant 8 7 7- Charge surfacique uniformément répartie p en N/m² 8- Charge surfacique répartie linéairement 16 Mécanique des Structures CHARGEMENTS Actions à ne pas oublier sur les structures • charges permanentes : poids propre (souvent négligé pour les pièces mécaniques) • charges d’exploitation : foule, neige, vent, ... • actions indirectes : tassements, fluage (augmentation de la déformation dans le temps), ... • actions dynamiques : vent, machines, ... • actions exceptionnelles

(t) + B(t) , t∈I (1.1) Définition 1.1.1 Un système différentiel linéaire de premier ordre est un système de la forme où I est un intervalle de R, Y : I → Kn est l’inconnue, A : I → Kn×n est une matrice à coefficients continus, B : I → Kn est un vecteur à coefficients continus. Théorème 1.1.2 Pour chaque (t0 , Y0 ) ∈ I × Kn il passe une seule solution de (1.1) définie sur I. Preuve. Voir Chapitre 2. Ce résultat implique que 1. S0 = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t)} est un espace vectoriel de dimension

inversibles de Mn (K) ; les ´l´ments de Mn (K) sont not´s M = (mi j ). ee e Pour une matrice A de Mn (K), on note t A la transpos´e de la matrice A, rg(A) son rang, e χA = det(A − X In ) son polynˆme caract´ristique et Sp(A) l’ensemble de ses valeurs propres. o e Si P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 est un polynˆme unitaire de Kn [X] on lui associe o 0 1   0 la matrice compagnon CP =  .  0 0   0 . . 0 −a0 0 . . 0 −a1   1 0 . 0 −a2   ∈ Mn (K). . . . . .   . 0 1 0 −an−2 . . 0 1 −an−1

semblables ont mêmes valeurs propres (Voir fiche n°7 diagonalisation) 6) Si on a , alors on a également : FICHE SYNTHESE : DIAGONALISATION DES MATRICES A- VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES Définitions : Soit A une matrice carrée d’ordre n, on appelle : * Valeur propre de A tout nombre tel qu’il existe une matrice colonne non nulle X vérifiant : * Vecteur propre de A toute matrice colonne X

1)P − 2nXP. Vérifier que f est un endomorphisme de R2n [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f . f est-il diagonalisable ? Correction [005654] Exercice 5 *** Soit E = R3 [X]. Pour P élément de E, soit f (P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = X 4 − 1 et B = X 4 − X. Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655] Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format

SESSION 2010 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 PARTIE I A) 8−λ 4 −7 8−λ 4 −8 −4 − λ 8 = (1 − λ) = (1 − λ)(λ2 − 4λ) = −λ(λ − 1)(λ − 4). Par suite, f admet −8 −4 − λ 0 0 1−λ trois valeurs propres simples à savoir 0, 1 et 4 et on sait que f est diagonalisable. 1) χf = 2) Soit v = (x, y, z)  R3 . ∈  8x + 4y − 7z = 0 −8x − 4y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E0 = Ker(f) ⇔  z=0 z=0 . Donc E0 = Vect(v1 ) où v1 = (1, −2, 0). y = −2x   x − z = −4y  7x + 4y − 7z = 0 y=0 7 •

O x0 x i Figure 1 1. Équation différentielle associée au système {solide, ressort} et solution. 1.1. Faire l’inventaire des forces exercées sur le mobile. Recopier sur votre copie la figura 1 en faisant apparaître ces différents vecteurs forces sans souci d’échelle. 1.2. Rappeler l’expression vectorielle F de la force de rappel du ressort en fonction de k, x et i . 1.3. En appliquant la seconde loi de Newton au mobile, établir l’équation différentielle du mouvement.