Vecteur

THÉORIQUES (25 %) 1- a) Dessinez les vecteurs forces agissant sur le bloc « 1 » (les blocs sont immobiles et le demeurent). b) Écrivez l’équation de la somme vectorielle des forces agissant sur le bloc 1. Écrivez également les équations de la somme des forces selon chacun des axes avec les composantes scalaires. Dessinez le système d’axes que vous utilisez. 2- Un bloc monte le long d’un plan incliné rugueux (avec frottement). Dessinez les vecteurs forces agissant sur le bloc et identifiez-les

R)   y avec : y  0 L’allongement relatif d’une ligne située à l’ordonnée y de la surface neutre s’écrit alors: S 'U  yd  y e   Rd R TS ' Et la contrainte au point U obtenue par la loi de Hooke  = E e: y   E R R 0 (vecteur contrainte dirigé vers les x1positifs) y>0 Répartition des contraintes normales sur une section droite de la poutre y1 S1 x1 y1 Mz Plan de symétrie de la poutre Expression des contraintes normales en fonction de Mz M ds S1

parallèles, sécantes. • Déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes. On démontre que toute droite a une équation soit de la forme y = mx + p, soit de la forme x = c. On fait la liaison avec la colinéarité des vecteurs. C’est l’occasion de résoudre des systèmes d’équations linéaires. Commentaire Comme l’indiquent les programmes sur le thème de la géométrie, il est question d’utiliser les problèmes de configurations (du cadre de la géométrie euclidienne) avec

augmenté la stabilité. Q15) Page 4 sur 11 2 FONCTION TECHNIQUE FT32 : LIMITER LE TANGAGE Q16) Afin de faciliter certains calculs qui vont suivre, tracer la figure de changement de base entre les repères R0 et R1. Puis, exprimer le vecteur rotation associé. Y1 Y0 X1 θ Z0 =Z1 X0 Q17) Pour déterminer les équations scalaires du mouvement : a) Appliquer au chariot le théorème de la résultante dynamique. Laisser l’équation sous sa forme vectorielle. b) Appliquer au chariot le théorème

de y en fonction de x (la variable est sous-entendue). conc.° mol σ = λ .c x = v.t + x 0 U = R.I physique : u = f (t) vitesse temps position initiale dérivée de u en fonction de t (la variable est explicite). Représentations d’un vecteur Coordonnées cartésiennes : x est l’abscisse, y est l’ordonnée V = (x, y) Coordonnées polaires : V = (V, θ) Somme vectorielle V1 : (x1, y1) ou (V1, θ1) V2 : (x2, y2) ou (V2, θ2) V : (x, y) ou (V, θ) On place V1 et Fraction et produit un

par ea (t) = exp(at). Montrer que la famille (ea )a∈C est une famille libre d’éléments de l’espace F(R, C). Exercice 20 [ 00173 ] [correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N et f un endomorphisme de E tel qu’il existe un vecteur x0 ∈ E pour lequel la famille (x0 , f (x0 ), . . . , f n−1 (x0 )) soit une base de E. On note C = {g ∈ L(E)/g ◦ f = f ◦ g}. a) Montrer que C est un sous-espace vectoriel de L(E). b) Observer que C = a0 Id + a1 f + · · · + an−1 f n−1 | a0 , . . .

applications linéaires f suivantes : R3 → R 2 a) f : (x, y, z) → (x + y, y − 2x + z) b) f : c) f : d) f : R3 → R3 (x, y, z) → (y + z, z + x, x + y) R3 [X] → R3 [X] P → P (X + 1) R3 [X] → R4 P → (P (1), P (2), P (3), P (4)) a) Justifier qu’il existe un vecteur x ∈ E tel que la famille B = x, f (x), f 2 (x), . . . , f n−1 (x) forme une base de E. b) Déterminer les matrices de f, f 2 , . . . , f n−1 dans cette base. c) En déduire que {g ∈ L(E)/g ◦ f = f ◦ g} = Vect(Id, f, f 2 , . . . , f n−1 ) Changement

O x0 x i Figure 1 1. Équation différentielle associée au système {solide, ressort} et solution. 1.1. Faire l’inventaire des forces exercées sur le mobile. Recopier sur votre copie la figura 1 en faisant apparaître ces différents vecteurs forces sans souci d’échelle. 1.2. Rappeler l’expression vectorielle F de la force de rappel du ressort en fonction de k, x et i . 1.3. En appliquant la seconde loi de Newton au mobile, établir l’équation différentielle du mouvement.

théorème de la quantité de mouvement : On appelle quantité de mouvement d’un point matériel de masse –m- se déplaçant suivant une trajectoire T, le produit de la masse par la vitesse du déplacement La quantité de mouvement a la même direction que le vecteur vitesse dont elle est issue Soit F la résultante des forces qui agissent sur un système de points matériels entre les instants t et t+dt, le principe fondamental de la dynamique conduit à : (1) Qui peut aussi s’écrire sous la formes :

notations, nous poserons e e e e E® = E(r® ; t) et B® = B(r® ; t). Nous introduirons en¯n les potentiels vecteur A® = A(r® ; t) et scalaire V® = V (r® ; t) permettant de calculer les champs par les relations: E® = ¡@A® =@t ¡ rV® et u e e a a B® = r £ A® , oµ les d¶riv¶es spatiales sont µ prendre par rapport µ la position de la particule ®. Notons que la d¶riv¶e temporelle du potentiel vecteur est une d¶riv¶e partielle. Le champ ¶lectromoteur e e e e e ne fait en e®et intervenir que la d¶pendance