Voie normale

notations suivantes : n : nombre total d'observations n1 : le nombre de symboles + n2 : le nombre de symboles k : le nombre runs Si les réalisations successives sont indépendantes et si n1 > 10 et n2 > 10, le nombre de runs converge vers une distribution normale avec : - - 2n1 n2 + 1 n1 + n 2 2n n (2n n − n1 − n2 ) σ k2 = 1 2 1 2 (n1 + n2 ) 2 (n1 + n2 − 1) E (k ) = On construit alors aisément un test d'hypothèse (ou un intervalle de confiance) pour juger de la probabilité d'observer le nombre de

exercice, les résultats seront donnés à 10−3 près. 5 points 1. Une étude interne à une grande banque a montré qu’on peut estimer que l’âge moyen d’un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X , qui suit la loi normale de moyenne 40, 5 et d’écart type 12. a. Calculer la probabilité que le client demandeur d’un prêt soit d’un âge compris entre 30 et 35 ans. b. Calculer la probabilité que le client n’ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans. 2. Dans un slogan

fluctuation asymptotique. Théorème – Intervalle de fluctuation asymptotique Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale Pour tout réel et . on a : est l’unique nombre strictement positif tel que lorsque suit la loi normale Définition - Intervalle de fluctuation asymptotique L’intervalle au seuil est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire fréquence qui à tout échantillon de taille associe la fréquence obtenue . Exemple

la régression : L.I.N.E : Linéarité : La relation entre X et Y est linéaire Indépendance des erreurs : Les valeurs de l’erreur sont statistiquement indépendantes Normalité de l’erreur : Les valeurs de l’erreur sont distribuées selon la loi Normale pour toute valeur de X Égalité de la variance (appelée aussi homoscedasticité) La distribution de probabilité des erreurs a une variance constante Précisions à propos des hypothèses : Les valeurs estimées b0 et b1 (ou “hat” values) sont estimées

Fisher – Soit un n-échantillon (X1 , · · · , Xn ) de loi f (x | θ). On a le résultat suivant. Sous certaines conditions de régularité, l’estimateur du maximum de √ ˆ ˆ vraisemblance θn de θ est tel que, pour n assez grand, n(θ − θ) suit une loi normale centrée, de variance 1/I(θ). Autre résultat important : l’inégalité de Cràmer-Rao. Soit tn , un estimateur de g(θ), alors : E(tn − g(θ))2 ≥ (g (θ) + bn (θ))2 , nI(θ) où bn (θ) = E(tn ) − g(θ), est le biais. Si g(θ) = θ et si l’estimateur

 Loi binomiale Repartition Dénsité Loi normale densité Repartition Khi 2 Ces données ayant été réparties en classes, il faut : calculer algébriquement la distance entre les données observées et les données théoriques attendues. se donner a priori un risque d'erreur, celle consistant à rejeter l'hypothèse, alors qu'elle est vraie (la valeur 5 % est souvent choisie par défaut ; il s'agit plus souvent d'une coutume que du résultat d'une réflexion) ; déterminer

Estimation. , sans biais Somme de deux lois de Poisson. Soient et deux variables aléatoire indépendantes suivant respectivement les lois et . La loi suit une loi . 3. Loi du Khi-deux     Somme de carré de loi normales centrées réduites. Soient variables aléatoires indépendantes . La variable aléatoire suit une loi de probabilité (khi-deux à degrés de liberté). Somme de lois du Khi-deux. Soient et deux variables aléatoires indépendantes suivant

52 cm. - la moyenne arithmétique des tailles est égale à 50,12 cm. - la variance est égale à 14,91 cm². 3. Représentation croisée par exemple [pic] Exercice 4 a) vrai, car cela signifie que la loi n'est pas très éloignée d'une loi normale et donc la moyenne (qui dans ce cas est égale à la médiane) est un bon indicateur de tendance centrale. b) faux, la variance est nulle si toutes les valeurs sont égales. c) vrai. Exercice 5 [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

probabilité que les huit entreprises emploient aucun salarié est 0,328. 3° ≥7 = =7 + =8 = × 0,87 × 0,13 + × 0,87 × 0,13 ≈ 0,721 La probabilité qu'au moins sept entreprises n'emploient aucun salarié est 0,721. B. Loi normale 1° Réponse C : 0,86 Justification (non demandée) : suit la loi normale de moyenne 874 et d'écart type 10,5. Soit la variable aléatoire définie par : ≤ 890,5 = 859,5 − 874 ≤ 10,5 = , =1− = 0,87 = 0,13 ; suit 29 11 −Π − ≈ Π 1,57 − Π −1,38 = Π 1,57 − 1 − Π 1,38 21 7

suffit de calculer E(X²) à l’aide de la fonction « sommeprod ». =SOMMEPROD(pi ;xi ;xi) 3 L’écart-type C’est un indicateur qui permet de caractériser une loi. En effet, les lois sont définies par une moyenne et un écart-type (exemple : la loi Normale). Elle est notée σ et se calcule de la manière suivant : [pic] |paramètres statistiques |Age | |la moyenne |42 | |la variance |232 | |l'écart-type