Séquence 10
Géométrie dans l’espace Sommaire
1. Prérequis
2. Calculs vectoriels dans l’espace
3. Orthogonalité
4. Produit scalaire dans l’espace
5. Droites et plans de l’espace
6. Synthèse

Dans cette séquence, il s’agit d’une part de renforcer la vision dans l’espace et d’autre part de donner tous les outils algébriques et géométriques permettant de traiter les problèmes d’intersections de droites et de plans.

Séquence 10 – MA02

1

© Cned - Académie en ligne

1 Prérequis
A

Géométrie plane
1. Vecteurs et colinéarité
Définition

La translation qui transforme A en B est la translation de vecteur AB.

̈

Conséquence

Un vecteur est donc un « objet mathématique » qui caractérise une translation.
Il est donc défini par la donnée : t
d’une direction, ici la droite (AB) ; t
d’un sens, ici de A vers B ; t
et d’une longueur (on dit aussi une norme), ici AB.
Définition

Soit A, B, C et D quatre points du plan. On a : AB = CD si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu (c’est-à-dire si et seulement si
ABDC est un parallélogramme).

Propriété

Les coordonnées du vecteur AB sont : AB( x B − x A ; y B − y A ) où
A ( x A ; y A ) et B( x B ; y B ).

Propriété

C

Règle de Chasles

Soit A, B et C trois points du plan.
On a : AB + BC = AC.
A

B

Séquence 10 – MA02

3

© Cned - Académie en ligne

Propriété

Règle du parallélogramme

C

D

Soit A, B et C trois points du plan.
On a : AB + AC = AD, où D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme.
A

B

Définition

Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que :

u = k ⋅v ou v = k ⋅ u .

̈

Conséquence

Soit u et v deux vecteurs du plan différents du vecteur nul.
Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

2. Décomposition d’un vecteur en fonction de deux vecteurs donnés
Propriété

Deux vecteurs non colinéaires u et v étant fixés, il n’y a qu’une seule façon de décomposer un vecteur w sous la forme : w = xu + yv où x et y sont deux nombres