HX3 2006/2007 - Espaces vectoriels 1.
Soit E = R∗ × R. On d´finit pour (x, y) et (x , y ) dans E et λ ∈ R : e + (x, y) + (x , y ) = (xx , y + y ) et λ(x, y) = (xλ , λy) V´rifier que E muni de ces lois est un R-espace vectoriel. e

2. 3.

Soient X ⊂ R et E = f ∈ RR , ∀x ∈ X, f (x) = 0 . Montrer que E est un R-espace vectoriel pour les lois usuelles. A|x| pour

On note E l’ensemble des fonctions f : R −→ R telles qu’il existe a ∈ R+ et A ∈ R+ avec |f (x)| tout x a. Montrer que E est un R-espace vectoriel pour les lois usuelles.

Soit (G, +) un groupe ab´lien. Montrer que G ne peut ˆtre muni qu’au plus d’une structure de Q-espace e e vectoriel.

4.

5. Soient E un K-espace vectoriel et U , V et W trois sous-espaces tels que U ⊂ V ∪ W . Prouver que U ⊂ V ou U ⊂ W.
Soient E un K-espace vectoriel et (Fi )i∈I une famille non vide de sous-espace de E tels que pour tout (i, j) ∈ I 2 , il existe k ∈ I avec Fi ∪ Fj ⊂ Fk . Montrer qu’alors F = i∈I Fi est un sous-espace de E.

6. 7.

Soient E un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces. V´rifier l’´quivalence des propositions suivantes : e e (i) F ∪ G est un sous-espace de E. (ii) F ∪ G = F + G. (iii) F ⊂ G ou G ⊂ F . Soit (u, v) ∈ L(E)2 . Montrer que u(ker(v ◦ u)) = ker v ∩ im u. Soient u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F, G). 1) Etablir que ker v ◦ u ⊃ ker u et im v ◦ u ⊂ im v. 2) Montrer que ker v◦u = ker u (resp. im v◦u = im v) si et seulement si ker v∩im u = {0} (resp. ker v+im u = F ). Soit u ∈ L(E). V´rifier l’´quivalence des deux conditions suivantes : e e (i) im u = im u ◦ u (resp. ker u = ker u ◦ u); (ii) im u + ker u = E (resp. im u ∩ ker u = {0});

8. 9.

10.

11.

Soient E et F deux K-espace vectoriel, E un sous-espace de E et u ∈ L(E , F ). On suppose que E poss`de e un suppl´mentaire dans E. e V´rifier l’existence de u ∈ L(E, F ) tel que u|E = u . e

Soit u ∈ L(E, F ). 1) On suppose que u est injective et que im u poss`de un suppl´mentaire dans F . V´rifier l’existence de e e e v ∈ L(F, E) tel que v