EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats) → − − → Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal O, i , j . 1. Étude d’une fonction f . On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par : f (x) = ln x . x

On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0; +∞[. → − − → On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le repère O, i , j . La courbe Cf est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. b. Calculer la dérivée f de la fonction f . c. En déduire les variations de la fonction f . 2. Étude d’une fonction g. On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par : g(x) = (ln x)2 . x

→ − − → On note Cg la courbe représentative de la fonction g dans le repère O, i , j . a. Déterminer la limite de g en 0, puis en +∞. (ln x)2 =4 Après l’avoir justifiée, on utilisera la relation : x b. Calculer la dérivée g de la fonction g. c. Dresser le tableau de variation de la fonction g. 3. a. Démontrer que les courbes Cf et Cg possèdent deux points communs dont on précisera les coordonnées. b. Étudier la position relative des courbes Cf et Cg . c. Tracer sur le graphique de l’annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbe Cg . 4. On désigne par A l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan délimitée, d’une part par les courbes Cf et Cg , et d’autre part par les droites d’équations respectives x = 1 et x = e. En exprimant l’aire A comme différence de deux aires que l’on précisera, calculer l’aire A . √ ln x √ x
2

.

Page 2 / 7

FEUILLES ANNEXES Annexe 1, exercice 1

0, 6 0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 O −0, 1 −0, 2 −0, 3 −0, 4 5 10 15 20 Cf

Page 6 / 7

BACCALAUREAT GENERAL
Session de juin 2011 MATHEMATIQUES - Série S Enseignement Obligatoire Asie

EXERCICE 1 1) Etude d’une fonction f. 1 1 a) Limite de f en 0. lim = +∞ et lim ln x = −∞. Donc lim f(x) = lim × ln x = −∞. x→ 0 x x→ 0 x→ 0 x x→ 0 x>0 x>0 x>0 x>0

Limite de f en