Fonctions : Résumé de cours et méthodes 1 Généralités

Une fonction f définie sur D f associe à chaque réel x de D f un unique réel noté f (x). D f est appelé l’ensemble de définition de f . f (x) est l’image de x par f (x). Tout réel x de D f tel que f (x) = y est dit antécédent de y par f . • Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 . f (2) = 22 = 4. Donc 4 est l’image de 2 par f .

f(x) 2
(antécédent de 4)

4
(image de 2)

On peut aussi dire que 2 est un antécédent de 4 par f . Mais ce n’est pas le seul : on a aussi f (−2) = (−2)2 = 4. Donc, −2 est aussi un antécédent de 4 par f . Si un réel admet au plus une seule image par une fonction, il peut admettre plusieurs antécédents.

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Comment déterminer l’ensemble de définition d’une fonction ?

Principe général : Si l’expression de f (x) admet un quotient, alors x appartient à l’ensemble de définition D f si et seulement si le dénominateur est non nul. Si l’expression de f (x) admet une racine carrée, alors x appartient à l’ensemble de définition D f si et seulement si l’expression sous la racine est positive. (les deux cas peuvent se rencontrer en même temps) • Exemples : 1 1) f (x) = . Il y a un quotient : x ∈ D f ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = −3. x+3 D f = R − {−3}. √ 2) f (x) = x − 4. Il y a une racine carrée : x ∈ D f ⇔ x − 4 D f = [4; +∞[. √ x 3) f (x) = . Il y a un quotient et une racine carrée : x−1 x ∈ D f ⇔ x 0 et x − 1 = 0 ⇔ x 0 et x = 1. D f = [0; 1[ ∪ ]1; +∞[. 0⇔x 4.

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Courbe représentative x f (x) où x décrit l’ensemble

Dans un repère donné, la courbe C représentative de la fonction f est l’ensemble des points M de définition de f .

f(x) Courbe C

x

Une équation de la courbe est : y = f (x). • Recherche graphique de l’image d’un réel : L’image d’un réel a est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse a.
Courbe C

image de a

a

• Recherche graphique des antécédents d’un réel : Les éventuels antécédents d’un réel b sont les abscisses des points de la courbe d’ordonnée b.