Cours fonctions 2nde

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 5 (1198 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 8 août 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
Fonctions : Résumé de cours et méthodes 1 Généralités

Une fonction f définie sur D f associe à chaque réel x de D f un unique réel noté f (x). D f est appelé l’ensemble de définition de f . f (x) est l’image de x par f (x). Tout réel x de D f tel que f (x) = y est dit antécédent de y par f . • Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 . f (2) = 22 = 4. Donc 4 est l’image de 2 par f .

f(x)2
(antécédent de 4)

4
(image de 2)

On peut aussi dire que 2 est un antécédent de 4 par f . Mais ce n’est pas le seul : on a aussi f (−2) = (−2)2 = 4. Donc, −2 est aussi un antécédent de 4 par f . Si un réel admet au plus une seule image par une fonction, il peut admettre plusieurs antécédents.

2

Comment déterminer l’ensemble de définition d’une fonction ?

Principe général : Sil’expression de f (x) admet un quotient, alors x appartient à l’ensemble de définition D f si et seulement si le dénominateur est non nul. Si l’expression de f (x) admet une racine carrée, alors x appartient à l’ensemble de définition D f si et seulement si l’expression sous la racine est positive. (les deux cas peuvent se rencontrer en même temps) • Exemples : 1 1) f (x) = . Il y a un quotient : x ∈ D f⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = −3. x+3 D f = R − {−3}. √ 2) f (x) = x − 4. Il y a une racine carrée : x ∈ D f ⇔ x − 4 D f = [4; +∞[. √ x 3) f (x) = . Il y a un quotient et une racine carrée : x−1 x ∈ D f ⇔ x 0 et x − 1 = 0 ⇔ x 0 et x = 1. D f = [0; 1[ ∪ ]1; +∞[. 0⇔x 4.

3

Courbe représentative
x f (x) où x décrit l’ensemble

Dans un repère donné, la courbe C représentative de la fonction f est l’ensembledes points M de définition de f .

f(x) Courbe C

x

Une équation de la courbe est : y = f (x). • Recherche graphique de l’image d’un réel : L’image d’un réel a est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse a.
Courbe C

image de a

a

• Recherche graphique des antécédents d’un réel : Les éventuels antécédents d’un réel b sont les abscisses des points de la courbe d’ordonnée b.Courbe C b

antécédents de b

4

Fonction croissante ou décroissante sur un intervalle

Soit I un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de la fonction f . • f est dite croissante sur I si pour tous réels a et b tels que a < b, on a f (a) (les images sont rangées dans le même ordre que les réels de départ)
Courbe C f(b)

f (b).

f(a)

a

b

• f est dite décroissante sur Isi pour tous réels a et b tels que a < b, on a f (a) (les images sont rangées dans l’ordre contraire que les réels de départ)
f(a) Courbe C

f (b).

f(b)

a

b

5

Fonction paire - Fonction impaire

• f est dite paire si son ensemble de définition D f est symétrique par rapport à 0 et si, pour tout x de D f , f (−x) = f (x). La courbe représentative dans un repère orthogonal estalors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

f(−x)

f(x)

−x

0

x

• f est dite impaire si son ensemble de définition D f est symétrique par rapport à 0 et si, pour tout x de D f , f (−x) = − f (x). La courbe représentative est alors symétrique par rapport à l’origine du repère.

f(x) −x x f(−x)

• Méthode pour déterminer si une fonction est paire, impaire ou ni l’une, nil’autre :
si f(−x)=f(x) alors f est paire l’ensemble de définition est−il symétrique par rapport à 0 ? NON f est ni paire, ni impaire OUI on calcule f(−x) si f(−x)=−f(x) alors f est impaire dans les autres cas, f est ni paire, ni impaire

• Exemples : 1) f définie sur R par f (x) = 2x2 + 1 est paire car R est symétrique par rapport à 0 et pour tout x de R, f (−x) = 2(−x)2 + 1 = 2x2 + 1 = f (x). 2) fdéfinie sur [0; +∞[ est ni paire, ni impaire car [0; +∞[ n’est pas symétrique par rapport à 0. 3) f définie sur R∗ par f (x) = − − − 2 x = − f (x). 2 2 est impaire car R∗ est symétrique par rapport à 0 et pour tout x de R∗ , f (−x) = − = x (−x)

4) f définie sur R par f (x) = x + 3 est ni paire, ni impaire car si R est bien symétrique par rapport à 0, f (−x) = −x + 1 est ni égal à f (x), ni...
tracking img