1. Comment résoudre un système d'inéquations du premier degré à une inconnue ?
Pour résoudre un système de deux inéquations du premier degré à une inconnue, on résout chacune des inéquations, on obtient ainsi deux intervalles de solutions. On cherche ensuite la partie commune aux deux intervalles ; si elle existe, c'est la solution du système.
Exemple
On veut résoudre le système : .
Ce système est équivalent à : .
L'ensemble des solutions du système est donc l'intersection de deux intervalles :
. D'où : . (Il peut être utile de dessiner les intervalles pour déterminer l'intersection.)
Exercice n°1
2. Comment résoudre un système d'équations du premier degré à deux inconnues ?
Il y a deux méthodes : par substitution ou par addition.
• Si l'une des inconnues possède un coefficient égal à 1 ou −1, il est préférable d'utiliser la méthode par substitution.
Dans l'une des équations, on écrit l'inconnue dont le coefficient est 1 ou −1 en fonction de l'autre, puis on substitue cette écriture à l'inconnue de la seconde équation.
Exemple
Dans le système , on exprime x en fonction de y dans la première équation et on obtient le système équivalent : .
On remplace ensuite x par dans la seconde équation, ce qui donne le système : qui équivaut à , soit encore à .
On obtient ainsi le couple solution : .
• Si les coefficients des inconnues sont différents de 1 ou de −1, pour éviter l'apparition d'écritures fractionnaires, on utilise la méthode par addition.
Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l'une des inconnues, en multipliant les équations par des facteurs bien choisis. En additionnant membre à membre les deux équations transformées, on obtient une équation à une seule inconnue que l'on peut résoudre. On utilise alors ce résultat pour résoudre l'autre équation.
Exemple
Dans le système , on multiplie les termes de la première équation par 2 et ceux de la seconde par 3 et on obtient le système équivalent : .
On additionne