Applications multilinéaires - Déterminants
Définition 5.1 (Applications multilinéaires) Soient et F des K- espaces vectoriels .
Une application est dite n-linéaire si pour tout , quel que soit , l'application partielle est linéaire .
Lorsque F=K on parle de forme n-linéaire. Lorsque n=2 (resp. n=3) on parle d'application bilinéaire (resp. trilinéaire).
Exemple 5.2 (Forme bilinéaire canonique) Soit E un K- espace vectoriel , son dual . L'application

est bilinéaire.
Théorème 5.3 L'ensemble des applications n-linéaires de dans F est un K- espace vectoriel noté .
Remarque 5.4
Ne pas confondre et (l'espace des applications linéaires de l'espace vectoriel produit dans F).
Travail 5.5 Soient E1, E2, E3 et F des K- espaces vectoriels . Pour , calculer f(x+y) et f( x).
Travail 5.6 Soit F un - espace vectoriel de dimension finie m>0. Calculer les dimensions des - espaces vectoriels suivants: 1. et 2. et 3. et
Travail 5.7 Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie d. 1. Rappeler la définition d'une forme n-linéaire symétrique sur E. Après avoir vérifier que l'ensemble des formes n-linéaires symétriques sur E est un K- espace vectoriel , calculer la dimension de l'espace vectoriel des formes bilinéaires symétriques sur E. 2. Mêmes questions que ci-dessus pour ce qui concerne les formes n-linéaires antisymétriques sur E.
Définition 5.8 (Forme n-linéaire alternée)
Soient E et F des K- espaces vectoriels . Une application n-linéaire f: En F est dite alternée si pour tout on a:

Théorème 5.9 Toute application n-linéaire alternée définie sur En est antisymétrique. Réciproquement si le corps de base K n'est pas de caractéristique 2, toute application n-linéaire antisymétrique est alternée.
Travail 5.10 Prouver le théorème 5.9 ci-dessus.
Théorème 5.11 E étant un K- espace vectoriel de dimension finie n, le K- espace vectoriel des formes n-linéaires alternées définies sur En est de dimension