Coordonnées cartésiennes

u et v sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est-àdire qu’il existe un nombre réel k tel que u  kv . Critère de colinéarité : x  x' Soit u et v deux vecteurs de coordonnées   et   dans un repère (O, i , j ).  y  y ' Dire que u et v sont colinéaires re ient dire que les coordonnées des deux ecteurs sont proportionnelles soit : xy’ – yx’ = 0. Démonstration : Exemple : 5   7  Vérifier si les vecteurs u   et v   sont colinéaires.  4  5  II. Equations

+ 6 = 2, alors (d1) passe par le point de coordonnées (-2; 2). Comme f(1) = 2×1 + 6 = 2 + 6 = 8, alors (d1) passe par le point de coordonnées (1; 8). (en vert sur le dessin) • (x) = -x + 3 g est une fonction affine, sa représentation graphique est la droite (d2) d'équation y = -x + 3. Comme g(3) = -3 + 3 = 0, alors (d2) passe par le point de coordonnées (3; 0). Comme g(-1) = -(-1) + 3 = 1 + 3 = 4, alors (d2) passe par le point de coordonnées (-1; 4). (en rouge sur le dessin) •

R \ { 3} par : f ( x ) = représentative dans un repère (O , I , J). x 2 − 5x + 7 et C sa courbe x −3 1 À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique comme GéoGébra, conjecturer l’existence d’un centre de symétrie K de C et préciser ses coordonnées. 2 Démontrer la conjecture précédente. 12 Séquence 1 – MA12 Solution 1 La figure obtenue à l’aide du logiciel GéoGébra est donnée ci-dessous. On peut conjecturer que la courbe admet le point K( 3 ; 1) comme centre de symétrie

rappelons également quelques relations mathématiques utiles : u =0 ∫ u exp ⎛ – ----- ⎞ du = ⎝ 2-⎠ 2 π -- . 2 Laplacien en coordonnées cylindriques d’une fonction scalaire g ( r, θ, z ) : ∂ g 1 ∂g 1 ∂ g ∂ g Δg = -------- + -- ----- + ---- -------- + -------- . - - - 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2 ∂r 2 2 2 Divergence et rotationnel en coordonnées cylindriques, d’un vecteur A = Ar ur + Aθ uθ + A z u z : 1 ∂ ( r Ar ) 1 ∂ Aθ ∂ A z div A = -- ----------------- + -- --------- + ---------

Analytique Chapitre 15 I – Activités dans un repère cartésien du plan 1 – Rappel M(x,y) y N y' 1 j 0 1 x i x' Soit ሺܱ, ଓԦ, ଔԦሻ un repère cartésien du plan ሺଓ, ሬԦ ଔԦሻ est une base du plan Le point M du plan est repéré dans le plan par ses coordonnées ‫( ݔ‬abscisse) et ‫( ݕ‬ordonnée) et est noté ‫ܯ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ሬሬሬሬሬሬԦ ቀ௫ ቁ ou ܱ‫ܯ‬ ሬሬሬሬሬሬԦ ൌ ‫ݔ‬ଓԦ ൅ ‫ݕ‬ଔԦ ሬሬሬሬሬሬԦ est repéré dans le plan par ses coordonnées : ܱ‫ܯ‬ Le vecteur ܱ‫ܯ‬ ௬ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ൌ ቀ ௫ᇲ ି௫ ቁ ou

1.3.2 Définition et prooprièté du barycentre . . . . . . . . . 1.4 Espaces affines de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Repère affine - Coordonnées barycentriques . . . . . . 1.4.2 Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes . . . . . 1.4.3 Représentation paramétrique d’un sous-espace affine . 1.4.4 Représentation cartésienne d’un sous-espace affine . . 1.5 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

temps permet de repérer les positions différentes. On associe au système de référence un repère. Ce repère est caractérisé par un trièdre orthonormée direct. Un point matériel est dit en mouvement par rapport à un repère R0 si au moins une de ses coordonnées dans R0 varie avec le temps. Un solide est dit en mouvement par rapport à un repère R0 si au moins un de ses points est en mouvement par rapport à R0. 2. Changement de référentiels. repères d'espace: Point mobile par rapport à un référentiel:

Académie en ligne ᕢ Étude On note x l’abscisse de M. Donc : M(x ; 0). x +x −1+ x x − 1 = et N est le milieu de [BM] donc : x N = B M = 2 2 2 y +y  x −1  0+0 yN = B M = = 0 . D’où : N   ; 0 . 2 2  2  Notons (0 ; b) les coordonnées de P. Le point P appartient au cercle de centre N 2 2   x − 1 x − 1 + b 2 =  −1− + 02 soit passant par B donc : NP = NB soit  0 −  2  2    2 2  x − 1 2  x + 1  − 2  + b =  − 2  . Ainsi : 2 2

positions successives qu’il occupe au cours du temps (voir figure I.1). Figure I.1. I. 2 I.2 : Cinématique à 1 dimension C’est le cas particulier de la trajectoire rectiligne. I.2.1 : Repérage du mobile Le mobile est repéré par une coordonnée cartésienne x (t) sur un axe x qui coïncide avec la trajectoire (ou qui lui est parallèle). Ceci implique le choix d’une origine, d’un sens et d’une unité de mesure de longueur (voir figure I.2). Figure I.2. I.2.2 : La vitesse moyenne La vitesse d’un

fonction à optimiser. 4)Rendu a la quatrième étape il faut tracer ce qu’on appelle le polygone de contraintes . *petite parenthèse sur le polygone de contraintes Le polygone de contraintes Définition: Forme géométrique délimitée dans un plan cartésien par la rencontre des diverses solutions au système d’ inéquations donné. Il s’agit de la région qui contient tous les points qui sont des solutions pour toutes les inéquations données. Les sommets du polygone constituent généralement les extremums