Dérivée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Applications de plusieurs variables et dérivées partielles . . . 1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation . . . . . 1.2.3 Applications : dérivées partielles et dérivées . . . . . . . . . . 1.3 Théorème d’inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . 1.3.1

Fonction dérivée 1. Définition La fonction dérivée est la fonction . Remarque : il ne faut pas confondre le nombre dérivé et la fonction dérivée (comme il ne faut pas confondre et ). 2. Propriétés Si et sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D, alors les fonctions suivantes sont dérivables et : pour , réels quelconques , aux points tels que , aux points tels que () () Si , , réels quelconques Propriété 4 Une fonction paire a une dérivée impaire.

repère, noté A sur l'animation, à pour coordonnée (xA = O m; yA = O m). Le vecteur position du système est: 2) le vecteur vitesse Dans un référentiel donné, le vecteur vitesse instantanée à l'instant t d'un point M du système, noté , est égale à la dérivée du vecteur position par rapport au temps: vx et vy sont les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère cartésien orthonormé R. Unité légale: le mètre par seconde (m.s-1). Le vecteur vitesse moyenne est égale à la variation du vecteur position

appartenant à I. On dit que f est dérivable en a si la limite lorsque h tend vers 0 du quotient f ah− f a existe et est finie. Cette limite se note f ' a et s'appelle le nombre dérivé h de f en a. Remarque : on utilise cette méthode pour calculer la dérivée des fonctions usuelles. Dans la pratique, elle est peu employée sauf dans des exercices théoriques ou si c'est explicitement précisé dans l'énoncé. Exemple : En revenant à la définition du nombre dérivé, calculer f ' 2 où f est la fonction définie

obliques (approximativement 10 heures). Tangentes et pentes de tangentes: notation f’(x). La dérivée d’une fonction: exploration graphique et exploration numérique à l’aide de la calculatrice. Les dérivées des fonctions de base (approximativement 10 heures). Formules et règles de dérivation: dérivées des fonctions algébriques. Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques. Dérivées des fonctions trigonométriques. Règles pour l’addition, la soustraction, la multiplication et la

 L( e jt  e  jt 2 ) 1 1 s L(e jt )  L(e  jt )  2 2 2 s 2 d)- Dérivées : La dérivée première est obtenue par : La dérivée seconde : La dérivée troisième : L  f t  = s2 L  f t   s. f 0   f 0  = s 2Fs  s f 0 f 0 L f L  f t s L  f t  f 0 = sF(s) f(0)  t  =L .s  f t   s . f 0  s. f 0  f (0) 3 3 2 Généralisation aux dérivées d’ordre n : Supposons que f(t), et ses dérivés f k (t) , pour k=1,2,..,n sont continues

Correction [000738] Exercice 12 On considère la fonction f : R → R définie par f (t) = e1/t 0 si t < 0 si t ≥ 0 1. Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0. 2. Etudier l’existence de f (0). 3. On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s’écrit f (n) (t) = où Pn est un polynôme. (a) Trouver P1 et P2 . (b) Trouver une relation de récurrence entre Pn+1 , Pn et Pn pour n ∈ N∗ . 4. Montrer que f est de classe C∞ . Correction [000740] Pn (t) 1/t e t 2n Retrouver cette

type f (x) = k 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquence 2 – MA01 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Dérivée des fonctions « puissances » Dérivée de u +v, de ku, de uv Problème d’optimisation 1. Dérivées des fonctions x x n . Opérations élémentaires sur les fonctions dérivables Cas particuliers Fonction f Cas général Fonction dérivée f ' Ensemble de dérivabilité x k x 0 » x x x 1 » x x2 x 2x » x x3 x 3x 2 » x x4 x 4x 3 » x xn n x n-1

est fausse. Une fonction continue n'est pas nécessairement dérivable. Considérons, par exemple, la fonction g définie sur par : | Zoom | g est continue en 4 car et En revanche, la fonction g n'est pas dérivable en 4 car la dérivée à gauche de 4 est et la dérivée à droite de 4 est 4. Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ? À quoi sert-il ? • Soit une fonction f continue sur un intervalle [a ; b]. Alors il y a pour tout au moins un nombre tel que f(x 0) = y. x 0 est unique lorsque

la courbe C au point A d'abscisse a. Équation de la tangente : y = f(a) + f' (a) (x – a) B] Fonction dérivée : Définition On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsqu'elle est dérivable en tout point de cet intervalle. Fonction f Fonction dérivée f’ définie sur (constante) ]0 ;+∞[ Fonction Fonction dérivée III] Etudes de fonctions A] Fonctions polynômes B] Fonctions rationnelles C] Fonctions irrationnelles