Dérivée

- 1 correspond au nombre dérivé de la fonction cosinus en a = 0. h →0 h Propriété (voir démonstration 07) La fonction sinus est dérivable sur IR et sa dérivée est : (sin x )' = cos x La fonction cosinus est dérivable sur IR et sa dérivée est : (cos x )' = - sin x Exercice 02 (voir réponses et correction) Calculer les dérivées des fonctions suivantes, en précisant l'ensemble de dérivabilité : f(x) = 3 sin x - 5 cos x ; g(x) = sin2 x ; h(x) = sin x ; tan(x) = sin x x cos x Tableaux

nous en donne une équation : x -a y = ¦(a) + ¦'(a) (x – a) III) FONCTION DÉRIVÉE Nous avons vu dans un exemple précédent, que la fonction ¦ définie par ¦(x) = x2 + 3x – 4 est dérivable pour tout réel a et que son nombre dérivé en a est A = ¦'(a) = 2a + 3. Il est donc naturel de définir une nouvelle fonction qui à x associe le nombre dérivé ¦'(x). Cette fonction s'appelle la dérivée de ¦ et se note ¦'. La dérivée de la fonction ¦ : x a x2 + 3x – 4 est donc ¦' : x a 2x +3. Définition 2

utilisant (2). (3) conséquence de (1) et (2) (4) par récurrence Remarque : si p [pic]Z\N : p 0 pour tout réel x. Conséquence : exp x < exp y équivaut à : x < y (M1) soit ex < ey équivaut à : x < y • exp ‘ = exp donc la dérivée étant strictement positive, exp est strictement croissante sur R. Limites En + [pic] : On travaille par comparaison (pas d’autre possibilité). Montrons que : exp(x) [pic] x + 1 pour tout réel x. Considérons la fonction g définie et dérivable

fonctions de référence, les fonctions racine carrée et valeur absolue. On introduit un nouvel outil : la dérivation. L’acquisition du concept de dérivée est un point fondamental du programme de première. Les fonctions étudiées sont toutes régulières et on se contente d’une approche intuitive de la notion de limite finie en un point. Le calcul de dérivées dans des cas simples est un attendu du programme ; dans le cas de situations plus complexes, on sollicite les logiciels de calcul formel. L’étude

bac sur la fonction ln Exercice 1 ( Pondichéry 2011) ( 5 points) Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 8] par f (x) = 30 ln(x) + 10 − 10x. 1. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [1 ; 8] et on note f ′ sa fonction dérivée. Montrer 30 − 10x que, pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 8], f ′ (x) = . x 2. Étudier le signe de f ′ (x) sur l’intervalle [1 ; 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction f . 3. (Recopier et) compléter le tableau de valeurs suivant

utilisant la définition du nombre dérivé calculer f ’(1). Déterminer f ‘(x) en utilisant maintenant les théorèmes vus en cours et comparer le résultat obtenu pour x =1 dans la question 2°) Exercice 2 (2 points) Cadeau !! Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous après avoir précisé l’ensemble de dérivation. g définie sur par g(x) = -2 x3 + x – 2² h définie sur par h(t) = + + p;2)) i définie sur ]0 :+ 邰‰뽨ĜǟČ [ par i(x) = 4 + - p² Exercice 3 (3.5 points)

[000738] Exercice 11 On considère la fonction f : R → R définie par f (t) = e1/t 0 si t < 0 si t 0 1. Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0. 2. Etudier l’existence de f (0). 3. On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s’écrit f (n) (t) = Pn (t) 1/t e t 2n où Pn est un polynôme. (a) Trouver P1 et P2 . (b) Trouver une relation de récurrence entre Pn+1 , Pn et Pn pour n ∈ N∗ . 4. Montrer que f est de classe C∞ . Correction Vidéo [000740]

correction du DS. LIMITES – CONTINUITE - DERIVABILITE (1h) Exercice 1. (4 points) 1X4 Exercice 2. (11 points) Considérons la fonction f définie sur I = [!1;1] par f ( x) = (1 ! x) 1 ! x 2 . 1) Dérivabilité de f sur ]!1;1[ . 0,5 2) Calcul de la dérivée f ' de f sur ]!1;1[ . 1,5 3) a) Dérivabilité de f en 1. f ( x) " f (a) existe et est finie. x"a f est dérivable en a si lim x!a 1/3 2 b) Interprétation graphique. Le nombre dérivé f '(1) , lorsqu’il existe, est le coefficient directeur

canne à pêche est de 5€. Calculez le coût total dans chaque cas, puis vérifiez que cela donne la courbe de coût total suivante : 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 3- Complétez le tableau ci-dessous : CT Entre 0 et 22 Signe dérivée première Signe dérivée seconde Cm 4- Faire le lien entre les questions 1 et 3. Entre 22 et 46 LICENCE DROIT ECONOMIE GESTION MENTION ÉCONOMIE LICENCE 1 MICRO-ÉCONOMIE TD 5-corrigé Exercice 1 Soit une entreprise dont l’évolution de la production en

. . . . . . . . 30 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5.1 Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5.3 Formules élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5.4 Dérivée d'une fonction composée