Entier relatif

Justifier que l’on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; π]. f étant périodique il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π par exemple [−π ; π], le reste de la courbe → s’obtiendra par translations de vecteurs k × 2π i avec k entier relatif f étant impaire, Cf est symétrique par rapport à l’origine O il suffit donc d’étudier f sur [0 ; π], la symétrie par rapport à O nous donnera Cf sur [−π ; π] 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie par f’(x) = 2 cos²x + cos x −

Groupes 1re année 136 Ensembles 1re année Autres structures algébriques 1re année 140 144 148 Applications 1re année Arithmétique dans Z 1re année Relations 1re année 128 46 130 Nombres complexes 1re année Entiers naturels 1re année 47 133 Dénombrement 1re année Exponentielle complexe 1re année 151 Table des matières 48 49 Nombres complexes et géométrie plane 1re année 154 156 50 51 Divisibilité dans K[X] 1re année 160

de 1. x5 + x + 1 et x4 − 2x3 − x + 2, 2. 3x5 − 5x4 + 6x3 − 4x2 − x + 1 et x2 − 2x + 1. ˆ 1.1. POLYNOMES 1.1.1.4 Division suivant les puissances croissantes 3 Proposition 1.1.3 Si A et B sont deux polynˆmes tels que b0 = 0, alors pour tout entier k, o il existe un couple unique (Q,R) de polynˆmes, tels que A = BQ + xk+1 R avec d◦ Q ≤ k. Les o polynˆmes Q et xk+1 R sont respectivement appel´s quotient et reste de la division suivant les o e puissances croissantes de A par B ` l’ordre k. a Exemple

fonction exponentielle Théorème 6.2. Pour tout réel a et tout entier relatif p, on a : exp(ap) = (exp a)p . 112 http ://perpendiculaires.free.fr/ Terminale ES – 2 008–2 009 6.3 Étude de la fonction exponentielle Preuve. ln (exp a)p = p ln(exp a) = p a = ln exp(p a) Ainsi ln (exp a)p = ln exp(p a) ⇔ (exp a)p = exp(p a). ♦ Remarque (Nouvelle notation pour la fonction exponentielle). D’après le théorème 6.2, pour tout entier relatif p, on peut écrire : exp p = exp(1 × p) = (exp1)p = ep Par

dirig´s: T. Altınel, T. Eisenk¨lbl & S. Richard e o Math IV, analyse (L2) – Fiche 5 31 mars 2008 Exercice 1 (Extr´ma). e 2 → R la fonction d´finie par f (x, y) = 2x3 + 6xy − 3y 2 + 2 pour tout (x, y) ∈ R2 . Soit f : R e 1. D´terminer les extr´ma relatifs (locaux) de la fonction f . e e 2. La fonction f poss`de-t-elle des extr´ma absolus sur R2 ? e e 3. Repr´senter le segment de droite L d´fini par e e L = {(x, y) ∈ R2 | −2 ≤ x ≤ 0, y = x + 1} et d´terminer les extr´ma absolus de la restriction de

d'être précisés. • L'ensemble d'entités Serie est un ensemble d'entités faibles de CD-ROM, au format Merise (ou une association qualiée en UML). En eet, ce choix de modélisation a été fait pour représenter le fait que le numéro d'une série est relatif au CD-ROM auquel la série appartient. • Les cardinalités de l'association entre les ensembles d'entités Serie et CD-ROM sont 1:1-6:6, car une série appartient à un unique CD-ROM et un CR-ROM contient exactement 6 séries de questions. Le principe est

faisant pas apparaître tous les zéros pour des nombres très grands ou très petits. L’écriture scientifique est de la forme a x 10n, avec 1 ≤ a < 10 (a compris entre 1 et 10, a strictement inférieur à 10, n appartenant à l’ensemble des nombres entiers relatifs). Exemples : 10000 = 104 600000 = 6 x 105 0,002 = 2 x 10-3 1458 = 1,458 x 103 254 x 1000 = 2,54 x 105 0,58 x 0,001 = 5.8 x 10-4 Pour multiplier deux puissances de 10, il faut additionner leur puissance. Pour diviser deux puissances de 10,

seulement si ce qui est sous le radical est supérieur ou égal à 0. • Un logarithme existe si et seulement si ce qui est sous le logarithme est strictement positif. • La fonction trigonométrique tangente (notée tan) n’existe pas lorsque x= π/2 +kπ (k entier relatif). Cet ensemble de définition est soit donné par l’énoncé, dans ce cas on a intérêt à vérifier qu’il est valable, soit il est à déterminer. Exemple : Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction f telle que ln x f ( x) = . x −1 La racine

découverte est assez fréquente en mathématique. Qu’on se rappelle les solutions des équations suivantes. • Résolution dans N de l’équation x + 7 = 6. • Résolution dans Z de l’équation 3x = 1. Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les entiers relatifs, on obtient alors x = −1 Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les nombres rationnels, on 1 obtient x = . 3 • Résolution dans Q de l’équation x2 = 2. • Résolution dans R de l’équation x2 + 1 = 0. Cette équation n’a pas de solution

que (H, T ) est un sous-groupe de (G, T ) revient a v´rifier que e ∈ H, que ` e ee H est stable par T (i.e pour tout (a, b) ∈ H 2 alors a T b ∈ H) et que tout ´l´ment de H a son inverse dans H. Exemple : (Z, +) est un groupe et l’ensemble des entiers relatifs pairs 2Z muni de la loi + est un sous-groupe de (Z, +). En revanche, (N, +) n’est pas un groupe (pourquoi ?) Anneaux D´finition 0.0.6 Soit A un ensemble non vide muni de deux lois internes T et × . On dit que e (A, T, ×) est un anneau si les