Entier relatif

choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l’ordre croissant. Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier. Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu. 1. Leslie a écrit le calcul suivant : 11 × (2 × 9) Jonathan a écrit le calcul suivant : 102 + 2 a. Effectuer les calculs précédents. b. Quels sont les trois entiers choisis par le professeur ? 2. Le professeur choisit maintenant trois nouveaux entiers. Leslie et Jonathan

euclidienne de a − 1 par b. Déterminer pour tout n ∈ N, le quotient de la division euclidienne de (abn − 1) par bn+1 . PGCD et PPCM Exercice 9 [ 01195 ] [correction] Déterminer le pgcd et les coefficients de l’égalité de Bézout (1730-1783) des entiers a et b suivants : a) a = 33 et b = 24 b) a = 37 et b = 27 c) a = 270 et b = 105. Exercice 10 [ 01196 ] [correction] Soient a, b, d ∈ Z. Montrer l’équivalence : (∃u, v ∈ Z, au + bv = d) ⇔ pgcd(a, b) | d Exercice 11 [ 01197 ] [correction] Montrer

Académie en ligne ̈ Solution a) Faux. On peut corriger comme ceci : « La fonction exponentielle est le prolongement continu de la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison e. » b) Vrai. On peut aussi définir la fonction f sur » tout entier, la propriété énoncée est encore vraie puisque la fonction exponentielle transforme chaque somme en un produit. c) Faux. Pour tout réel x, e x > 0 donc l’équation e x = 0 n’a pas de solution dans » ; a fortiori, elle n’en n’a pas qui soit strictement

dans l’ordre de votre choix. Décembre 2009 Exercice 1 – 5 points Justifier que 82002 + 2 est divisible par 11. Exercice 2 – 5 points 1. Enoncer le théorème de Fermat. 2. En déduire que pour tout nombre premier p, a p ≡ a ( p ) , où a est un entier naturel. 3. Prouver que ∀a ≥ 2, a 7 − a est divisible par 42 Exercice 3 [France 2009, 10 points] Corrigé du test n°2 Exercice 1 – 5 points 8 ≡ 8 (11) 1. Nous savons que 82 ≡ −2 (11) , 83 ≡ 6 (11) 84 ≡ 4 (11) 85 ≡ −12 (11) ≡ −1 (11)

s’écrivent sans racine carrée. EXERCICE 2 :(5 points) On donne l’expression A=(2x+3)²-(2x+3)(x-7). 1. Développer, réduire et ordonner A. 2. Factoriser A. 3. Calculer A pour .(On donnera le résultat sous la forme a où a et b sont des entiers relatifs). 4. Résoudre (2x+3)(x+10)=0 EXERCICE 3 :(2,5 points) Résoudre le système d’inéquations : Représenter les solutions sur une droite graduée, en indiquant clairement sur quelle partie de la droite graduée se trouvent les solutions

N:entier naturels Z:entiers relatifs(naturels et opposés D:décimaux(nombre fini après la virgule) Q:rationnel(peut s'écrire comme un quotient d'entier Irrationnel:peuvent s'écrire comme un quotient d'entier 2/Ensemble de diviseurs d'un entier 1 18 Remarques : 1 est diviseur de tous les nombres 2 9 Chaque nombre est divisible par lui-même 3 6 Nombre entier: nombre divisible que par lui et par un 3/ Définitions Le PGCD de deux nombres entier est le plus grands diviseur à

proposons d’ introduire une modélisation probabiliste opérationnelle. La fréquence des observations est en général discrète. Ce chapitre développe le cadre formalisé des séries chronologiques, suite de nombres réels indexés par l’ ensemble des entiers relatifs appelées aussi du terme plus général de processus stochastiques. 1.2 Des exemples Avant d’ introduire les premiers éléments d’ analyse des séries chronologiques, il paraît utile de considérer un certain nombre d’ exemples. La représentation

|[pic] |Sur  | |[pic] ; n naturel, [pic] |[pic] |Sur  | |[pic] ; n entier relatif, [pic] |[pic] |Sur [pic] ou sur [pic] | |[pic] |[pic] |Sur [pic]

ܥ‬− ‫{ = ܣ‬4,5,6} = ‫ܣ ∩ ܥ‬ҧ ‫ܥ‬ҧ ={1,7,8,9,10} ‫ܣ‬ҧ ∩ ഥ‫{= ܥ‬7,8,9,10} തതതതതതത ‫{ = ܥ ∪ ܣ‬7,8,9,10} Math L1 : Pré-Requis • P(A)={{1,2,3},{1,2},{1,3},{2,3},{1},{2},{3}, Ø} 11 MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD 3) Principaux théorèmes relatifs aux opérations union et intersection A. Idempotence B. commutativité • ‫ =ܣ ∩ ܣ‬A • ‫ =ܣ ∪ ܣ‬A C. Associabilité • ‫ ∩ ܣ‬ሺ‫ܥ ∩ ܤ‬ሻ= ሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ ∩ ‫ܥ ∩ ܤ ∩ ܣ = ܥ‬ • ‫ ∪ ܣ‬ሺ‫ܥ ∪ ܤ‬ሻ= ሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ ∪ ‫ܥ ∪ ܤ ∪ ܣ = ܥ‬ Math L1 : Pré-Requis • ‫ܣ ∩ ܤ =ܤ

e Exemple 1 Soit n un entier relatif non nul. Sur l’ensemble Z on d´finit une relation Rn en posant e xRn y ⇔ n divise y − x . ∀x, y ∈ E , ∀x ∈ E , (Lorsque la mention de n en indice sera rendue superflue par le contexte, on l’omettra.) C’est une relation d’´quivalence : e ◦ R´flexivit´ : le nombre 0 est bien divisible par n, on a donc xRx pour tout entier x. e e ◦ Sym´trie : si n divise y − x, il divise aussi x − y. e ◦ Transitivit´ : si n divise y − x, il existe un entier k tel que l’on ait l’´galit´