Entier relatif

= −θ, arg(−z) = θ + π • z est r´eel si et seulement si θ ≡ 0 (π), z est imaginaire pur si et seulement si θ ≡ π (π). 2 Deux complexes sont ´egaux si et seulement si ils ont mˆeme module et deux de leurs arguments diff`erent d’un multiple entier de 2π. 1.3.2 Complexes de module 1. Forme exponentielle G´eom´etriquement, on a |z| = OM , o` u M est l’image de z ; donc |z| = 1 si et seulement si l’image de z appartient au cercle de centre O et de rayon 1, dit cercle trigonom´etrique

est donc une fonction constante. De plus, f (0) = exp(a + b) × exp(0) = exp(a + b), et f (b) = exp(a) × exp(b) f étant constante, on a alors : exp(a + b) = exp(a) × exp(b) Théorème 9 Propriétés algébriques Pour tous réels a et b, et pour tout entier relatif n, on a : exp(a) exp(b) • exp(na) = [exp(a)]n (n ∈ Z) • exp(a − b) = • exp(−b) = • exp a = n 1 exp(b) n exp(a) Démonstration : Immédiate à partir du théorème précédent. Théorème 10 Relation fonctionnelle caractéristique Il existe une seule

Général, la représentation au niveau des DSP se fait en virgule fixe, notamment pour des questions de coût. Les calculs en virgule flottante demandent plus de temps par rapport à ceux réalisés par l’unité arithmétique et logique, et donc sur des entiers. Il faut avoir conscience cependant des problèmes en terme de « bruit de calcul » que cela pourrait faire surgir. Dans un système utilisant une représentation avec virgule fixe, le programmeur sera tenu de prendre en considération la taille des registres

Question 4. A = 2 ln Erreur! Signet non défini. + 5 ln 2 + ln Erreur! Signet non défini. A = 2 (ln e – ln 4) + 5 ln 2 + ln 8 – ln e A = 2 – 2 ln 2 2 + 5 ln 2 + ln 2 3 – 1 car ln e = 1 A = 1 – 2 × 2 ln 2 + 5 ln 2 + 3 ln 2 car pour tout entier relatif n, ln(2 n) = n ln(2) A = 1 + 4 ln 2. Série ES Pondichéry – avril 2008 Correction de l’exercice 2 obligatoire Question 1. On obtient l’arbre de probabilités suivant : Les probabilités notées en rouge ont été calculées en appliquant

f d´finie par f (x) = eix est 2π-p´riodique. e e 2. Exprimer Arg(z) en fonction de Re(z) et de Im(z). 3. Calculer |eiθ |. On obtient la repr´sentation normale des nombres complexes non nuls : z = reiθ o` e u r = |z| > 0. 4. Calculer, pour tout entier relatif k, |e2ikπ |. 5. Exprimer le module et l’argument de z1 z2 et de z1 en fonction de |z1 |, |z2 |, Arg(z1 ) et Arg(z2 ). z2 6. repr´senter dans le plan complexe, eiπ , ei 2 et e−iπ . e 7. repr´senter M (z) et M ′ (z). Si z = reiθ , que vaut z ? e

e−iθ = cos θ − i sin θ = eiθ . e – Valeurs particuli`res : e √ 1 iπ/2 iπ e = i, e = −1, ei3π/2 = −i, ei2π/3 = j = − 2 + i 23 . II.2 Formules de Moivre et d’Euler Proposition (Formule de Moivre) Pour tout r´el θ, et pour tout entier n : (eiθ )n = einθ . e Autrement dit : ∀ θ ∈ IR, ∀ n ∈ Z (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ. Z, Proposition (Formules d’Euler) eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ Pour tout r´el θ : cos θ = e , et sin θ = . 2 2i Utilisation – “Moivre” permet,

nombres en machine e ——————————————————————————– Introduction I) Arithm´tique et sources d’erreurs e 1)Evaluation de l’erreur La repr´sentation des nombres dans un calculateur e 2)La m´moire de l’ordinateur: le stockage des nombres e Les nombres entiers Les nombres r´els e Troncature d’un nombre Arrondissement d’un nombre II)Les r`gles de base de l’arithm´tique flottante e e III)Propagation des erreurs en arithm´tique flottante e L’erreur absolue sur une somme L’erreur absolue dans la multiplication

b/ [pic] c/ [pic] d/ [pic] e/ [pic] f/ [pic] Activité n°2 [pic]est un nombre positif. 1./ Ecris sous la forme [pic] chacune des sommes suivantes où [pic]et [pic]sont des entiers positifs. [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] 2./ simplifie chacune des expressions suivantes  [pic] [pic] [pic] Activité n°3 Codjo, un élève de 3e , a écris sur son tableau : [pic] [pic]

Nombres Décimaux Relatifs E statistique S Programme de Mathématiques du Premier Cycle – Classe de Quatrième – Année 2006 55 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES Contenus 1) Définitions : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous a la forme : b avec a ∈ Z et b ∈ Z* (b ≠ 0) a et b sont les termes. L'ensemble des nombres rationnels est noté Q . IN ⊂ Z ⊂ ID⊂ Q. 2) Différentes écritures d'un nombre rationnel : a) Multiplication des termes d'un nombre rationnel par un entier relatif non nul b)

successives Certaines équations à coefficients naturels ont leurs solutions dans aε , bε x = a+b ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation 1 + x = 0 et x ε est vide. On peut contruire une extension de , appelée ensemble des entiers relatifs et notée , dans laquelle l'équation précédente possède une solution notée x = -1. Les équations suivantes possèdent une solution entière aε , bε aε , bε x = a−b ε x=ab ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation 2 x = 1