Étienne Bézout

par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13. On divise n par 228 = 12  19. Quel est le reste r de cette division ? Correction :  n  13  19   n  13  19 k .   S    n  6  12   n  6  12k   1. Théorème de Bézout : 19 et 12 sont premiers entre eux donc il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1. N  13  12v  6  19u est une solution de (S) : il faut mettre N sous la forme N  13  19k . Or 12v  1  19u donc N  13  1  19u 

Montrer que x 2 + y 2 = (1 - 2 x ) . d) En déduire que le point M d’affixe z’ appartient à une hyperbole que l’on caractérisera. Exercice n°2 : © Partie A : Question de cours 1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. 2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. Partie B Il s’agit de résoudre dans ¢ le système ( S ) ï í ì n º 13 ( 19 ) ï n º 6 ( 12 ) î . 1. Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1. (On ne demande

2 2 On considère x et y des entiers relatifs et l'équation (E) : 91 x + l0 y = 1. a) Enoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E). 91 et 10 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs u et v tels que 91 u + 10 v = 1 donc l'équation 91 x + 10 y admet au moins une solution le couple (u, v) b) Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation (E')

ALGORITHME D’EUCLIDE ET COEFFICIENTS DE BEZOUT 1. Le PGCD de 336 et 102 336=102*3+30 102=30*3+12 30=12*2+6 12=6*2+0 Donc le PGCD (336 ; 102) = 6 2. L’ensemble des diviseurs commun de 336 et 102 sont donc 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , - 3 ,6 , -6 3. Calculons les coefficients de Bézout de 336 et 102 en remontant l’algorithme d’Euclide 6=30-(12 * 2) 6=30-(102-30*3)x2 6=102 * (-2) + 30 * 7 6=102 x (-2) +(336 – 102 ) x7 6 = 336 * 7 + 102 * (-23) Les coefficients de Bézout sont donc 7 et -23 u = 7 et v = -23

sont premiers entre eux si pgcd(A, B) = 1. Pour A, B quelconques on peut se ramener à des polynômes premiers entre eux : si pgcd(A, B) = D alors A et B s’écrivent : A = D A , B = DB avec pgcd(A , B ) = 1. 2.3. Théorème de Bézout 7 Théorème 2. Théorème de Bézout Soient A, B ∈ K[X ] des polynômes avec A = 0 ou B = 0. On note D = pgcd(A, B). Il existe deux polynômes U, V ∈ K[X ] tels que AU + BV = D. Ce théorème découle de l’algorithme d’Euclide et plus spécialement de sa remontée comme

CHAPITRE 2 SÉQUENCE PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss  1 PGCD de deux entiers naturels (page 40) RÉSOLUTION DE PROBLÈMES d) Problème 1 A B Q R 1. 945 = 882 + 63 et 882 = 63 × 14. 945 882 1 63 Donc PGCD (945 ; 882) = 63 car d doit diviser 945 et 882 et la plus grande valeur de d est le PGCD des deux nombres. 882 63 14 0 « Tant que », le reste R est nul. On obtient à l’affichage la valeur commune A. • Si A  B, le premier

Le principe étant que même connaissant n il est très difficile de retrouver p et q (qui sont des nombres ayant des centaines de chiffres). – La clé secrète et la clé publique se calculent à l’aide de l’algorithme d’Euclide et des coefficients de Bézout. – Les calculs de cryptage se feront modulo n. – Le décodage fonctionne grâce à une variante du petit théorème de Fermat. 1. Division euclidienne et pgcd 1.1. Divisibilité et division euclidienne Définition 1 Soient a, b ∈ Z. On dit que b divise

utilisant le vocabulaire de l'époque : « Quand le cube avec les choses ( = Avec les x ) est égal à un nombre... » Les équations du 3 ème degré par d'autres mathématiciens. Les plus connus par ordre chronologiques : Il y aussi la méthode de Bézout. Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degré moins élevé. Cette méthode fastidieuse échoue de façon certaine pour les équations de degré supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble

المواطنة بين الحق والواجب الحق والواجب متلازمان فما من حق لإنسان إلا ويحتوي فكرة واجب مترتب للآخر حياله له وتلازمية الحق والواجب وتنظيمها هي قرب من العدالة . وإن حقوق الإنسان هي مجموعة الحقوق الملازمة لإنسانيته والمطلوبة لممارسة دوره وهي ليست منة من أحد ودور الدولة يكون في تنظيمها وقنونتها وعلى كل الدول أن تكيف أنظمتها وتشريعاتها بما يحترم ويكرس هذه الحقوق .‏ وقد صدر الإعلان العالمي لحقوق الإنسان في 10/12/1949 وعدد حقوق الإنسان في الحياة ¯ الحرية ¯ الكرامة ¯ المساواة أمام القانون ¯ حق الجنسية

TRAVAUX CRYPTOGRAPHIQUES. Transformation – Codage – Cryptage Affine. I- Cryptage: 1- |A |65 |66 |B | |B |66 |70 |F | |C |67 |74 |J | |D |68 |78 |N | |E |69 |82 |R | |F |70 |86 |V | |G |71 |90 |Z | |H