Fonction rationnelle

www.your1guide.blogspot.com 3. Développements limités On introduit la notion de « développement limité », qui est l’outil principal d’étude d’une fonction au voisinage d’un point. L’objectif est essentiellement d’apprendre à calculer des développements limités. En pratique, on commencera toujours par se ramener, au moyen d’un changement de variable approprié, au voisinage de 0. On consi0 dère donc, dans tout ce qui suit, un voisinage D de 0, contenu dans R, et, on écrit : f = o g au lieu

existe un nombre unique x1 entre x et Y tel que f(x1) = Nb cherché Limites FI • • • • +∞ + -∞ 0 x +∞ ou -∞ 0/0 +ou-∞/+ou-∞ La limite en + ou -∞ d'une fonction polynôme est celle de son terme de plus haut degré. La limite en + ou -∞ d'une fonction rationnelle (polynôme/polynôme) est celle du quotient des termes de plus haut degré. Limite fonction composée Fog = g dans f Exemple : g(x) = 2x-3 et f(x) = x², Fog(x) = (2x-3)² Si : lim g(x) = b x→a Et si : lim f(x) = c x→b Alors : lim (fog)(x) = x x→a

PROBLEME Soit f la fonction définie sur [0; +[pic][ par : f(x) = [pic]pour x > 0 et f(0) = 0. On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;[pic],[pic]) (unité graphique 5 cm). Partie 1 1. Démontrer que la droite ([pic]) d'équation y = 1 est asymptote à (C). 2. Pour x > 0, calculer [pic]. Etudier la limite de cette expression quand x tend vers 0 (on pourra utiliser, pour n entier naturel non nul, [pic]une-u = 0) Que peut-on en déduire pour la fonction f ? Que peut-on

Généralités A Primitives d’une fonction Les notions a) Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de . On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I et telle que : ∀x ∈ I , F ′ ( x ) = f ( x ) . b) Propriétés i. Soit F une primitive d’une fonction f sur l’intervalle I. L’ensemble des primitives de f sur I est alors constitué de toutes les fonctions de la forme F + k , où k est une constante quelconque. ii. Soit f une fonction admettant des primitives sur un

exemple, considérons la fonction f dont la courbe représentative est : Lorsque x s'en va vers +∞ ∞, f(x) devient de plus en plus grand. il n'a aucun maximum. On dit alors que f(x) tend vers +∞ ∞. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +∞ ∞ est égale à +∞ ∞. Ce que l'on résume par : Définition : Dire que la limite de f en + G est + G signifie que f(x) devient de plus en plus grand dès que x est suffisamment grand. b) Limite finie Considérons maintenant la fonction f dont la courbe représentative

sur les limites 1) Limites des fonctions usuelles Les fonctions suivantes tendent vers +∞ lorsque x tend vers +∞ :     ƒ(x) = x x2 x3 x n (n 1) x Les fonctions suivantes tendent vers 0 lorsque x tend vers +∞ : ƒ(x) = 1 x 1 x2 1 x3 1 (n xn 1) 1 x Les fonctions suivantes tendent vers 0 lorsque x tend vers 0 :   ƒ(x) = x x2 x3 x n (n 1) x sin x 2) Limites de fonctions polynômes La limite d'une fonction polynôme P est donnée par :

NOM : Prénom : NOTE : / 20 Mathématiques TERMINALE S Contrôle de leçon : bases de 1ere S sur limites de fonctions (Calculatrice autorisée) 1) Compréhension et pratique de base : a) f est la fonction √ Objectif : Déterminer toutes les études de limites envisageables pour cette fonction et trouver les réponses à ces études. Consigne : On ne donnera aucune justification mais on remplira un tableau donnant, d’une part, la condition d’étude choisie et d’autre part la réponse à cette étude

1 CHAPITRE 2 : LIMITES ET CONTINUITE DE FONCTIONS NUMERIQUES D’UNE VARIABLE REELLE 1. Limites : 1.1. Notion de limite et définitions : 1.1.1. Limite en un point x0 de ℝ : Soit une fonction f définie sur un ensemble E qui est un intervalle ou une réunion de deux intervalles tels que l’union de E et de x0 soit un intervalle. Exemples : E = ]0 ; 1] et x0 = 0 E = [-1 ; +∞[ et x0 = -1 La fonction f admet une limite l lorsque x tend vers x0 si elle vérifie la propriété suivante : ∀�� ∈ ℝ+

les limites 1) Limites des fonctions usuelles Les fonctions suivantes tendent vers +∞ lorsque x tend vers +∞ : x2 x3 x n (n 1)   ƒ(x) = x x 1) 1 x Les fonctions suivantes tendent vers 0 lorsque x tend vers +∞ : 1 x2 1 x 1 x3 1 (n xn   ƒ(x) = Les fonctions suivantes tendent vers 0 lorsque x tend vers 0 : x2 x3 x n (n   ƒ(x) = x 1) x sin x 2) Limites de fonctions polynômes La limite d'une fonction polynôme P est donnée par

− @ ( x0 ) 1 = lim . h→ 0 + h x0 De même, à partir de l’encadrement [2], @ ( x0 + h) − @ ( x0 ) 1 = lim . h→ 0 − h x0 Ainsi le taux d’accroissement de la fonction @ entre x0 et 1 x0 + h admet une limite finie lorsque h tend vers 0, x0 1 donc la fonction @ est dérivable en x0 et @ '( x0 ) = . x0 d) Ceci étant vrai pour tout x0 de I, la fonction @ est donc dérivable sur I et @ ' = f . 1 a) Sur l’intervalle x0 ; x0 + h , l’aire du domaine en   2 a) Tableau de résultats : Enseignement spécifique