Fonction rationnelle

Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute fraction rationnelle img360.png , où img361.png sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple img362.png La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.

dans ce cours (nombres complexes, coniques, fonctions trigonom´etriques inverses, calcul matriciel . . . ) Le premier chapitre rappelle des notions fondamentales d’alg`ebre comme les puissances, la valeur absolue, la r´esolution d’´equations, d’in´equations ou de syst`emes, les polynˆomes, la d´ecomposition de fractions rationnelles en somme de fractions simples. Le deuxi`eme chapitre porte sur la trigonom´etrie. On y red´efinit les nombres et fonctions trigonom´etriques en mentionnant leurs propri´et´es

bε x = a−b ε x=ab ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation 2 x = 1 et x ε est vide. On peut construire une extension de , appelée corps des nombres rationnels et notée tion précédente possède une solution notée x = 1 . 2 aε , bε ∗ Les équations suivantes possèdent une solution rationnelle x= a b x = a2 aε , dans laquelle l'équa- ε ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation x2 = 2 et x ε est vide. On peut contruire une extension

l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions

a et b ∈ Z∗ , nous conduit ` une extension de e e a Z par l’ensemble Q des nombres rationnels : En effet, un probl`me aussi simple que la r´solution de l’´quation xn = a, a ∈ Q∗ et e e e + n ∈ N, n’admet pas de solutions en g´n´ral dans Q. Plus pr´cis´ment, pour n = 2 : e e e e  Exemple 1.1.2 L’´quation x2 = 2 n’admet pas de solutions dans Q. x e • Mais, on sait former deux suites de nombres de rationnels l’une croissante, not´e e (xn ) : x1 = 1, 4, x2 = 1, 41, x3 = 1, 414, · · · et l’autre

Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006 2 Table des mati` eres 1 Les 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 nombres r´ eels et complexes Nombres rationnels . . . . . . . . . . Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . Densit´e des rationnels et irrationnels Nombres complexes . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Logique et langage des ensembles 2.1 Propositions et op´erateurs logiques 2.2 Quantificateurs . . . . . .

alors r.x ∈ / Q. √ 2. Montrer que 2 ∈ Q, 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indications 1. 1. Raisonner par l’absurde. √ 2. Raisonner par l’absurde en écrivant 2 = pq avec p et q premiers entre eux. Ensuite plusieurs méthodes sont possibles par exemple essayer de montrer que p et q sont tous les deux pairs. √ 3. Considérer r + 22 (r −r) (faites un dessin !) pour deux rationnels r, r . Puis utiliser les deux questions précédentes. 1. Soit r = Correction

contraires, ABC est supposé cartésien. | |1: Notant H son orthocentre orthogonalement projeté en ( U , V , W ) sur les trois côtés, | |    déterminez les nombres rationnels parmi | |        AU , BV , CW , HA , HB , HC , HU , HV , HW , AW , AV , BU , BW , CV et CU. | |2: Notant I son

est un délit. 29 30 32 36 37 7. Fonctions usuelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 97 97 99 102 103 Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 4. Fonctions réelles ou complexes d’une variable réelle 47 Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 47 49 52 53 8. Comparaison locale des fonctions Les méthodes à retenir Énoncés des exercices

autorisée est un délit. 25 26 28 32 33 7. Fonctions usuelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 93 93 95 98 99 Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 4. Fonctions réelles ou complexes d’une variable réelle 43 Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 43 45 48 49 8. Comparaison locale des fonctions Les méthodes à retenir Énoncés des exercices