Formule du binôme de Newton

Cette année, en première S Sciences de L'ingénieur, au Lycée *******, j’ai fait la découverte des Travaux Personnels Encadrés, une activité qui m'était totalement inconnue. La première étape a été de former les groupes. Je voulais constituer un binôme avec quelqu'un de dynamique, studieux et curieux. Simon ****** a répondu à mes attentes. I°) Pourquoi avoir choisi ce sujet ? La première séance de Travaux Personnels Encadrés (TPE) fut un moment de découverte, les professeurs nous ont expliqué

1 Corrigé de l’examen d’Analyse 1, L1MPI, Semestre 1, Session 1, 2021-2022 EXERCICES ET SOLUTIONS Exercice 1 1 Montrer qu’il n’existe pas de nombre rationnel r tel que r2 = 2. (0,75 pt) 2 En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que pour tous réels positifs a et b, on a : (0,75 pt) n √ a+ b ≤ n √ a+ n √ b, ∀n ∈ N. 3 Montrer que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N∗, E ( E(nx) n ) = E(x), où E est la fonction partie entière. (0,75 pt) 4 Montrer que √√ 2 + 2 est irrationnel. (0,5 pt) Correction

argumenter, raisonner • traduire une information d’un langage dans un autre, par exemple passer du langage courant au langage graphique ou algébrique et réciproquement ; • observer à partir des acquis antérieurs et en fonction du but à atteindre ; • formuler une conjecture, dégager une méthode de travail ; • rassembler des arguments et les organiser en une chaîne déductive ; • choisir une procédure adéquate et la mener à son terme ; • utiliser certains résultats pour traiter des questions issues

(unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C. b) Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ? c) Déterminer le centre de gravité de cette figure. 3 EXERCICE 2 1) 1ère solution. D’après la formule du binôme de newton, on a 6 6 0 6 5 1 6 4 2 6 3 3 6 2 4 6 1 5 6 0 6 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i 0 1 2 3 4 5 6 (1 + i)6 = = 1 + 6i − 15 − 20i + 15 + 6i − 1 = −8i. 2ème solution. Mettons 1 + i sous forme trigonométrique et pour cela calculons

respectivement 0, 1, 2,…, n fois au cours de n épreuves identiques et indépendantes. Ici une épreuve :   A toujours 2 possibilités, Est répétée n fois. avec n : nombre d’épreuves, p : probabilité de l’évènement Moyenne : Ecart-type : Calcul :   Binôme de Newton : Loi factorielle : avec Loi de Poisson 1 Triangle de Pascal Distribution de probabilités discontinues qui correspond à la loi Binomiale où l’une des deux éventualités à une probabilité très faible. Etude d’individus distribués au hasard

coefficients binomiaux de manière combinatoire, on verra que l’on peut convenir que n k = 0 pour k > n. Proposition 2.4 Propriétés des coefficients binomiaux Symétrie des coefficients binomiaux Soit (n, k) ∈ N2 tel que k ❶ ➀ ❶ n k 2 Formule de Pascal Soit (n, k) ∈ (N∗ ) tel que k ❶ ➀ ❶ n k 2 Relation utile Soit (n, k) ∈ (N∗ ) tel que k = = n. ❶ ➀ ➀ ➀ ❶ n−1 k n. n k k n n−k + ❶ n. ➀ n−1 k−1 ➀ n−1 =n k−1 Remarque. Ces

ensembles finis. 1) Calculer  card A B et  card A B en fonction de  card A et  card B et  card A B 2)Montrer que        card A B C card A card B card C          card A B card A C card A B C       (Formule de Poincaré (cas particuliers) :n=3) Solutions :1)a) Calcul de :  card A B    A B A B A    et    A B A B    Donc :    card A B cardA card A B    1)b) Calcul de :  card A B On a :    A B A B A B    

http://bacamaths.net/ 5. Formule du binôme de Newton valeur finale Ce paragraphe utilise le symbole "somme" : å quantité sommée . åx p= 0 n p valeur initiale de l'indice Par exemple, 1 + x + x2 + ... + xp + ... + xn pourra être noté de façon plus condensée : 5.1. Théorème Formule du binôme de Newton Pour tous nombres complexes a et b et tout entier naturel n non nul : (a + b) n = åç p÷a è ø p=0 n ænö n- p p b Exemples : à l'aide de cette formule et du triangle de Pascal

f (E) = F. Les applications f représentées sont injectives : y f ) E F F x E Les applications f représentées sont surjectives : 8 f y E F F x E Remarque Encore une fois ce sont des notions difficiles à appréhender. Une autre façon de formuler l’injectivité et la surjectivité est d’utiliser les antécédents. – f est injective si et seulement si tout élément y de F a au plus 1 antécédent (et éventuellement aucun). – f est surjective si et seulement si tout élément y de F a au moins 1 antécédent

 C 1 tanx C 3 tan 3 xC 5 tan 5 x .... n n n C 0 C 2 tan 2 xC 4 tan 4 x ......... n n n ) n c/Avoir à l’esprit la formule de Moivre: e inx  e ix n qui s’écrit aussi: cos nx  i sin nx  cos x  i sin x qui permet de x 2 calculer cosnx et sinnx en fonction de cosx et sinx...avec un bon binôme de Newton. d/En voisines, également les formules utilisant l’arc moitié: t  tan cos x  3/ 1 t2 1t 2 , sin x  2t 1t 2 , tan x  2t 1 t2 (là où