Idéal-type

Introduction aux structures algébriques c Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI 1 x+y . 1 + xy 1) Montrer que ⊕ est une loi interne sur ] − 1, 1[. 2) Montrer que ] − 1, 1[, ⊕ est un groupe commutatif. On pose, pour tous x, y ∈ ] − 1, 1[ : a) Montrer que aZ + bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ + bZ = dZ pour un certain d ∈ N d’après 2). Montrer qu’en fait d = a ∧ b. b) Montrer que aZ ∩ bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ ∩ bZ = mZ pour un certain

application de (?, + ? ,× ? ) dans (?, + ? ,× ? ). Alors f est un morphisme d’anneaux si : i. ii. iii. ∀( ?, ?) ∈ ?², ?( ?+ ? ?) = ?( ?)+ ? ?(?) ∀( ?, ?) ∈ ?2 , ?( ? × ? ?) = ?( ?) × ? ?( ?) ? (1 ? ) = 1 ?. IDEAL Soit ( ?, +,×) un anneau commutatif intègre. Une partie ? de A est un idéal de A si : i. ?≠∅ ii. (?, +) est un sous-groupe de (A, +) iii. ∀ ? ∈ ?, ∀ ? ∈ ?, ? × ? ∈ ?. CORPS SOUS-CORPS Un ensemble ? muni de deux LCI + ?? × est un corps si : ( ?, +,×) est un anneau commutatif

Ce que l’on acquiert par le processus de socialisation est la valeur, qui est un idéal propre à une société donnée ou à un groupe d’individus mais aussi la manière d’être ou d’agir qu’une collectivité reconnaît comme idéale et à laquelle on souhaite que chacun se conforme, comme la liberté, l’égalité ou encore la fraternité, la famille… On acquiert ainsi des normes qui sont des modèles, des règles de conduite auxquelles les individus doivent se conformer pour vivre en société, un rôle, qui est le

(u) = 0. Il en résulte que l'ensemble : n'est pas réduit au polynôme nul. Cet ensemble est le noyau du morphisme d'algèbres P → P (u) , c'est donc un idéal de l'anneau K [X] . Cet anneau étant principal, on peut donner la dénition suivante. générateur unitaire de cet idéal. On note πu ce polynôme. On a donc : Dénition 17.1 On appelle idéal annulateur de u l'idéal Iu et polynôme minimal de u le Iu = {P ∈ K [X] | P (u) = 0} = K [X] πu A ∈ Mn (K) . et πu est le polynôme unitaire

de QN . Le fait que C est stable pour la multiplication se montre en utilisant fait qu’une suite de Cauchy est bornée. Le sous-ensemble Z de C formé des suites qui tendent vers 0 est un idéal de C (là encore on utilise le fait qu’une suite de Cauchy est bornée). C est un corps On vérifie alors que Z est un idéal maximal de C et l’anneau quotient R = Z commutatif. L’application i qui associe à un nombre rationnel r la classe de la suite constante C C égal à r dans réalise une injection de Q dans

génération, véhicule avec elle des références qui la singularise. Pourtant, la lecture, d’utilité publique, peut avoir une influence essentielle sur les comportements, les valeurs et les normes sociales : liberté, égalité, fraternité. C’est un idéal propre à une société qui impose ses règles. Lire demeure la richesse de la vie intellectuelle et pour cela, les ouvrages sont là, à portée de main; le livre tient au creux de la paume, c’est un miroir, une machine à remonter le temps

Démonstration Im σ est un sous-anneau de E. Il contient K σ K et a L est un sous-anneau de E contenant K a L car tout élément c de Im σ s’écrit c Définition Soit σ; K X E l’application définie par σ P P a pour tout P K X . Considérons le noyau de σ. C’est un idéal de K X .  © 10 © £ ¢  ©   £ ¢ 2£ ¢ ¡ ( )£ ¢ Im σ i n i 0 P a ∑ bi ai   % #'" £ ¢ ¡ £ ¢ ¡ % $" # Théorème Im σ est le sous-anneau K a de E engendré par K a . σ X . alors L. © % $" # Définition

poursuit encore sa socialisation tout le reste de sa vie : premier emploi, mariage, naissance du premier enfant, changement d’emploi, promotion, déménagement… Une valeur est un idéal propre à une société donnée ou à un groupe d’individus. C’est la manière d’être ou d’agir qu’une collectivité reconnaît comme idéale et à laquelle on souhaite que chacun se conforme. Les normes sont des modèles, des règles de conduite auxquelles les individus doivent se conformer pour vivre en société. Ces règles

loi ×. • Une partie I de A est appelée idéal bilatère de A si I est un sous-groupe additif de (A, +), et si pour tout x ∈ I et y ∈ A, xy ∈ I et yx ∈ I. • Le centre C(A) d’un pseudo-anneau A est : C(A) = {x ∈ A | ∀y ∈ A, xy = yx}. • On dit qu’un pseudo-anneau A est commutatif si la loi × est commutative, ce qui revient à dire que C(A) = A. 1. Soit A un pseudo-anneau (a) Montrer que C(A) est un sous-groupe additif de (A, +). (b) Montrer que tout idéal bilatère I de A est un pseudo-anneau. 2

Définition : Si , si on dit que est un polynôme annulateur de f si f. Structure Proposition : L’ensemble des polynôme annulateur de est un idéal de . g. Polynôme annulateur et inverse Proposition : et donc f est inversible et \ h. Polynôme annulateur en dimension finie – Polynôme minimale Proposition : Si alors , i.e. \ Conséquence : Comme tout idéal est principal il existe un polynôme annulateur \ et car . s’appelle le polynôme minimal de f notée . Conséquence : Dès que , , 3