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I. El Hage

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1

Extensions simples
1 Extensions simples
Définition Une extension E de K est simple si, et seulement si, il existe a que E K a .

L’importance des extensions simples provient du fait que leurs structures peuvent être parfaitement déterminées d’une part et que la majorité des extensions que nous allons rencontrer sont en réalité des extensionssimples. Nous allons déterminer la structure d’une extension simple.

Démonstration Soit σ; K X E l’application définie par σ P P a pour tout P K X . Il est facile de vérifier que σ satisfait les conditions du théorème. Il nous reste à prouver l’unicité de σ. Si τ est une autre solution, alors nous avons pour tout P
i n i 0

i 0

i 0

Si

Démonstration Im σ est un sous-anneau de E. Ilcontient K σ K et a L est un sous-anneau de E contenant K a L car tout élément c de Im σ s’écrit c

Définition Soit σ; K X E l’application définie par σ P P a pour tout P K X . Considérons le noyau de σ. C’est un idéal de K X .

 ©

10 © £ ¢

 ©  

£ ¢ 2£ ¢ ¡

( )£ ¢

Im σ

i n i 0

P a

∑ bi ai

  % #'" £ ¢ ¡ £ ¢ ¡ % $" #

Théorème Im σ est le sous-anneau K a de E engendré parK

a .

σ X . alors

L.



% $" #

Définition - Notation Le sous-anneau de E engendré par K alors que K a désigne le sous-corps de E engendré K a .

 ¡  £ ¢ ¡

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£ ¢

£ ¢

£ ¢

¡

D’où τ

σ.

£ ¢ £ ¢ ¡ ¡

¡ £ ¢

τ P

τ

∑ bi X i

   ¡ £ ¢ £ ¢ ¡ !      ©  ¡  ©  

i n i 0

∑ bi X i dans K X
i n

∑τ

  ©

¡ £ ¢

¡£ ¢

qui vérifie σ X

a et σ k

k pour tout k

bi τ X

    ©

£ ¢ ¡

Théorème Soit E neaux et un seul

K a une extension de K. Il existe un homomorphisme d’anσ; K X E K.

i

i n

∑ bi ai

£ ¢

¦

£ ¨§¥¤ ¢ ¦ ¡

Exemple de K.

i est une extension simple de , K X est une extension simple

P a

σ P

a sera noté K a

 

E tel

£ ¢ ¡

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I.El Hage

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2

Deux cas sont possibles : Ker σ 0 ou Ker σ 0 . Dans le premier cas, l’élément a de E sera dit transcendant sur K, et dans le second, a sera dit algébrique sur K.

Exemple X

K X est transcendant sur K.

1.1 Cas où a est algébrique sur K
I a Ker σ , est un idéal non nul de K X . Mais K X est un anneau principal. Donc Ker σ est principal. D’unautre côté, deux générateurs de I a sont tels que l’un d’eux est le produit de l’autre par un élément de K , il en résulte que cet idéal possède un générateur unitaire et un seul.

Théorème Le polynôme Irr a K est irréductible dans K X . Démonstration Sinon, on pourra l’écrire sous la forme Irr a K gh où g et h sont deux polynômes de degré inférieur au degré n de Irr a K . Mais, nous avons

quiimplique g a 0 ou h a 0. Dans le premier cas, nous aurons g I a et Irr a K divise g, et dans le second cas, h I a et Irr a K divise h ce qui est impossible vu les degrés de ces polynômes. Remarque Nous avons

Le théorème précédent justifie la notation Irr a K pour le polynôme minimal de a sur K. Théorème Soient L et E des extensions du corps K. Si K Irr a L divise Irr a K dans L X .

£ ¢ ¡

£¢ ¡ ( (

L

E

K a , alors E



f a

0

f

I a

I rr a K divise f

£ ¢  

£ @ ¢

£ @ ¢ R$HQ£ ¢   P$H £ ¢ © © I G © I G ¡

£ @ ¢

£ ¢   ¡ £ ¢ ¡ ¢ ¢ ¡ £ E£ D£ ¢ £ ¢

g a h a

gh a

Irr a K a

0

¡ C£ @ ¢

 ©

¡ ¢ £ E£ @ ¢ £ @ ¢



£ @ ¢

8

 ©

£ @ ¢

¡ F£ ¢

7

Exemple

2 est algébrique sur

et Irr i

¡£5 @8 ¢ ¡£ A) @¦ ¢¦

Exemple i est algébrique sur

et Irr i

X2

1. 2.

X2

£ @ ¢

£ ¢

B

¡ £ ¢

Définition Le générateur unitaire de I a le polynôme minimal de a sur K.

Ker σ sera noté Irr a K et appelé

8

£ ¢

 ©

9

 ©

8

£ ¢   £ ¢

7

Exemple

2 est algébrique sur

alors que π est transcendant sur .

£ 65£ ¢ ¢ 4¡

£ 3)£ ¢ ¢ ¡

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£ @ ¢ £ @...
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