Maths

2895 mots 12 pages

I. El Hage

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1

Extensions simples
1 Extensions simples
Déﬁnition Une extension E de K est simple si, et seulement si, il existe a que E K a .

L’importance des extensions simples provient du fait que leurs structures peuvent être parfaitement déterminées d’une part et que la majorité des extensions que nous allons rencontrer sont en réalité des extensions simples. Nous allons déterminer la structure d’une extension simple.

Démonstration Soit σ; K X E l’application déﬁnie par σ P P a pour tout P K X . Il est facile de vériﬁer que σ satisfait les conditions du théorème. Il nous reste à prouver l’unicité de σ. Si τ est une autre solution, alors nous avons pour tout P i n i 0

i 0

i 0

Si

Démonstration Im σ est un sous-anneau de E. Il contient K σ K et a L est un sous-anneau de E contenant K a L car tout élément c de Im σ s’écrit c

Déﬁnition Soit σ; K X E l’application déﬁnie par σ P P a pour tout P K X . Considérons le noyau de σ. C’est un idéal de K X .

©

10 © £ ¢

©

£ ¢ 2£ ¢ ¡

( )£ ¢

Im σ

i n i 0

P a

∑ bi ai

% #'" £ ¢ ¡ £ ¢ ¡ % $" #

Théorème Im σ est le sous-anneau K a de E engendré par K

a .

σ X . alors

L.

©

% $" #

Déﬁnition - Notation Le sous-anneau de E engendré par K alors que K a désigne le sous-corps de E engendré K a .

¡ £ ¢ ¡

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©

£ ¢

£ ¢

£ ¢

¡

D’où τ

σ.

£ ¢ £ ¢ ¡ ¡

¡ £ ¢

τ P

τ

∑ bi X i

¡ £ ¢ £ ¢ ¡ ! © ¡ ©

i n i 0

∑ bi X i dans K X i n

∑τ

©

¡ £ ¢

¡ £ ¢

qui vériﬁe σ X

a et σ k

k pour tout k

bi τ X

©

£ ¢ ¡

Théorème Soit E neaux et un seul

K a une extension de K. Il existe un homomorphisme d’anσ; K X E K.

i

i n

∑ bi ai

£ ¢

¦

£ ¨§¥¤ ¢ ¦ ¡

Exemple de K.

i est une extension simple de , K X est une extension simple

P a

σ P

a sera noté K a

E tel

£ ¢ ¡

£ ¢ £ ¢ ¡

I.

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