Inégalité de Minkowski

Inégalités : petit recueil Thibaut Allemand 6 mars 2007 L'analyse, ce n'est que des inégalités... Table des matières 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Inégalités pour les enfants Inégalité de Young . . . . . . . . . Quelques inégalités logarithmiques Théorème des accroissements nis Inégalité de Taylor-Lagrange . . . Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0, uk uk+1 uk+2 ... est rationnel. no 7 : (**) (Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski) Soient a1 ,..., an , b1 ,..., bn des nombres réels. n n n n 1) En considérant la fonction f : x → Cauchy-Schwarz). (ak + xbk )2 , montrer que | k=1 k=1 a k bk | ≤ a2 k k=1 k=1 b2 (inégalité de k c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr n n n 2) En déduire l’inégalité de Minkowski : k=1 (ak + bk )2 ≤ a2 + k k=1 k=1

Minkowski Addition of Triangles Mireille Rousset To cite this version: Mireille Rousset. Minkowski Addition of Triangles. Modeling and Simulation. Universit´e Joseph-Fourier - Grenoble I, 1996. French. <tel-00005017> HAL Id: tel-00005017 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00005017 Submitted on 23 Feb 2004 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and

 Inégalités 0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques.

euclidienne sur un espace pr´hilbertien r´el e e Dans tout le paragraphe, E d´signe un espace pr´hilbertien r´el pour un produit scalaire (· |·). Pour e e e x ∈ E, la positivit´ du produit scalaire autorise ` poser x = (x |x). e a ´ ´ Proposition 1.11 (Inegalite de Cauchy-Schwarz) Pour tous x, y ∈ E, on a : |(x |y)| x y avec ´galit´ si, et seulement si, la famille (x, y) est li´e. e e e D´monstration. • Pour x, y ∈ E donn´s, on a par bilin´arit´, sym´trie et positivit´ du produit e e e e e e scalaire

Signe: d(A,B)≥0 ; d(A,B)=0 A=B – Symétrie: d(A,B)= d(B,A) – Inégalité du triangle: d(A,B) ≤ d(A,C) + d(B,C) – Exemple: Distance Euclidienne: Proximité : Distance • Distance Euclidienne . YB ……………………………………B . d ………………..A . . YA . . . . . . XB XA d2 (A,B) = (XB-XA)2+(YB-YA)2 Proximité: distance • Distance les plus usuelles p – – – Euclidienne: d2 (A,B) = ∑(XAK-XBK)2d2 (A,B) = (XB-XA)2+(YB-YA)2 Distance de Minkowski: d (A,B) = ( ∑|XAK-XBK|n )1/nd2 1 Si n=1 , d (A,B) = ∑|XAK-XBK|

démonstrations Exemples[modifier | modifier le code] Inégalité de Cauchy-Schwarz Le cas p = q = 2 de l'inégalité de Hölder est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert. Dimension finie Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et y de ℝn (ou de ℂn), l'inégalité Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions

symétriques 1.1.1 Dénition Structure d'espaces vectoriels pour l'ensemble des formes bilinéaires et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques 1.1.2 Formes bilinéaires positives Dénition :Formes bilinéaires positives et dénies positives Inégalité de Cauchy-Schwarz(démo) 1.2 Formes quadratiques 1.2.1 Dénition Structure d'espace vectoriel pour l'ensemble des formes quadratiques(fq) 1.2.2 Polarisation Th : Si Φ est une forme quadratique, il existe une unique fbs φ associée à Φ (forme

. . . . . . . . . 2.1.5 Comparaison des suites de référence . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Fonctions circulaires réciproques et hyperboliques réciproques 2.2.3 Inégalités usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Limites . . . . . . . . . . . . .

Fonctions convexes : corrigé Inégalités de convexité Exercice 1 - Exponentielle - L1/Math Sup Il suffit juste de remarquer que la fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité ! Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé