Matrice symétrique

voir ✓ La définition d’une matrice ✓ Plusieurs définitions de matrice particulière ✓ La somme de matrices ✓ La multiplication d’une matrice par un scalaire ✓ La multiplication de matrices Définitio n: Une matrice de format est un tableau rectangulaire ordonné de éléments disposés sur lignes et colonnes. rfois, on spécifie la taille de la matrice ici 3 Définitio Une matrice ligne est une matrice de forma n: Exempl e: Définitio Une matrice colonne est une matrice de n: format . Exempl e:

Notion de matrice A est une matrice 3 x 3 car elle est composée de 3 lignes et de 3 colonnes (L x C). Ses composants sont les aij où i est le n° de ligne et j celui des colonnes. On peut utiliser les matrices pour résoudre des systèmes : On peut écrire, x1’= a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 x2’= a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 x3’= a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 II.Opération sur les matrice A/ Egalité 2 matrices A et B sont égales si pour tout i et j, on a : aij = bij. B/ Somme et différence Soit 2 matrices A et

l’indice répété, etc. . .). Au Chapitre 4 on introduit le polynôme caractéristique pA d’une matrice carrée A, et on étudie la diagonalisation des matrices et des endomorphismes. On démontre directement au Chapitre 5 que pA (A) = 0 (théorème de CayleyHamilton) par la méthode des déterminants, on introduit le polynôme minimal qA d’une matrice carrée A, et on démontre le théorème de décomposition de Jordan : toute matrice carrée A dont le polynôme caractéristique est scindé s’écrit de manière unique sous la

A et B un troisième élément C = A.B appartenant au groupe. Cette loi est associative : A. B. C = A .(B.C) = (A.B.).C (ii) Il existe un élément neutre E appartenant au groupe tel que, quel que soit A : E.A = A.E = A (ii) Tout élément A possède un symétrique ou inverse A-1 appartenant au groupe tel que : A.A-1 = A-1.A = E 2.2. Nomenclature et procédure d’identification des groupes de symétrie Nous nous limitons ici aux principaux groupes rencontrés en chimie. La procédure d’identification du groupe

Support du cours de Dr. Lara Thomas Polycopié initial élaboré par Prof. Eva Bayer Fluckiger Dr. Philippe Chabloz Septembre 2009 2 Table des matières 1 Systèmes d’équations linéaires et matrices 1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode

3 juillet 1995, sur la protection des droits d’auteur. Annexe A Exercice 1 ⎡ 1 3 3⎤ Pour les matrices A = ⎢ ⎥ et B = ⎣ 2 4 1⎦ ⎡2 4⎤ ⎢1 5 ⎥ , calculer AB, A′B′, et BA. ⎢ ⎥ ⎢6 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡10 22 10 ⎤ ⎡ 23 25⎤ ⎢ ⎥ AB = ⎢ ⎥ , BA = ⎢11 23 8 ⎥ ⎣14 30 ⎦ ⎢10 26 20 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡10 11 10 ⎤ A′B′ = (BA)′ = ⎢ 22 23 26 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢10 8 20 ⎥ ⎣ ⎦ Exercice 2 Prouver que tr(AB) = tr(BA) avec A et B deux matrices quelconques, non nécessairement carrées, pouvant être multipliées. Le i-ième élément de la diagonale

10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES COURS MPSI R. FERREOL 11/12 B) MATRICES E,F et G désignent toujours des K-espaces vectoriels. RAPPELS : une matrice A à n lignes et p colonnes (ou de format (n, p)) à coefficients dans K est une application de [|1, n|] × [|1, p|] dans K ; pour (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|] , A (i, j) est souvent noté de façon indicielle aij , de sorte que A est notée (aij )1 i n ; 1 j p j     a11 a12 a1p a1j  a21 a22   a2p  ... = i   on la représente aussi par le tableau

X. Matrices - Déterminants - Systèmes d'équations 1. Introduction. 1.1 Exemple Afin de récolter de l'argent pour le camp, un groupe de guides vend des galettes et des truffes au chocolat. La première patrouille a vendu 10 paquets de galettes et 8 paquets de truffes. La seconde patrouille a vendu 12 paquets de galettes et 10 paquets de truffes. Et enfin la troisième patrouille a vendu 15 paquets de galettes et 5 paquets de truffes.  10 8    Le résultat de ces ventes peut être représenté

Chapitre 23 MATRICES Enoncé des exercices 1 Les basiques Exercice 23.1 Donner la matrice de l’application linéaire f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (z, y, x) dans les bases canoniques. Puis montrer que B = ((1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0, −1)) est une base. Donner la matrice de f dans B. Exercice 23.2 Soit f l’endomorphisme de R2 défini par f 1 −1 ,B= x y = x − 3y 2x + 4y Justifier que B = Soit A = 1 −3 2 4 , 2 est une base de R2 . 1 4 −1 que représentent A et B vis à vis de f ? −2 8

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 Matrices et déterminants Généralités sur les matrices Exercice 1 [ 00700 ] [correction] Soit A une matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existe λ ∈ K tel que A2 = λA. Exercice 2 [ 00702 ] [correction] Résoudre l’équation X 2 = A où 1 0 A= 0 4 0 0   1 2  16 Exercice 6 Centrale MP [ 02390 ] [correction] Soit n un entier 2 et A un hyperplan de Mn (C) stable pour le produit matriciel. a) On suppose que In ∈ A. Montrer