Méthodes de Runge-Kutta

.......................................................................................... 5 La Méthode ......................................................................................................................................... 5 Application et efficacité....................................................................................................................... 5 Code Methode du Point milieu ................................................................................

 d'équations   différentielles                   Logiciel  de  calcul  utilisé:  Scilab  5.1       I  Utilisation  de  la  méthode  d'Euler.               C'est   une   méthode   numérique   nommée   ainsi   en   référence   au   mathématicien  Leonhard  Euler  qui  sert  à  résoudre  des  équations  différentielles   du  premier

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 La méthode de Gauss vs. la factorisation LU . . . . 3.5.2 Le calcul du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Existence et unicité de la factorisation . . . . . . . . 3.6 Les méthodes directes pour la factorisation . . . . . . . . . 3.7 La factorisation de Choleski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Le calcul de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Les méthodes de changement de pivot . . . . . . . . . . . . 3

linéaires : les méthodes directes . . . . . . . . . . . . . IV.1 IV.2 IV.3 IV.4 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La méthode de Gauss et quelques variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les méthodes QR/QL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V La résolution de systèmes linéaires : les méthodes itératives V.1 V

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Méthodes de Riemann à droite et à gauche 2.3 2.4 2.5 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Cas d'un polynôme de degré 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Cas d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Méthode du premier ordre des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 4.2.1 Intégration numérique par développement de Taylor . . . . . . . 4.2.2 Méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Méthodes Multipas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Méthodes prédicteur-correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Notion de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Un exemple d’analyse de méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Nota Bene Les chapitres 1, 2 et 3 qui suivent ne

. . . . . . . . . Méthodes directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Résolution des systèmes triangulaires. . . . . . . . . . . . 2.1.2 Méthode d'elimination de Gauss et décomposition LU . . . 2.1.3 Elimination avec recherche de pivot. . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Matrices tridiagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 L'inverse d'une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Considération sur la précision des méthodes directes pour les

SCIENCES SUP Exercices & Problèmes Licence • Écoles d’ingénieurs ANALYSE NUMÉRIQUE AVEC MATLAB
Rappels de cours
Méthodes
Exercices et problèmes avec corrigés détaillés Jean-Louis Merrien Table des matières Introduction Chapitre 1 Petits rappels sur les commandes Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Premières commandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| 2.5. Sur le graphe 2, on a représenté trois courbes : • Courbe n°1 : courbe obtenue par la méthode d'Euler avec un pas (t = 5 ms, • Courbe n°2 : courbe obtenue par la méthode d'Euler avec un pas (t = 2 ms, • Courbe n°3 : représentation de la solution analytique de l'équation différentielle. a) Quelle est l'influence du pas (t, utilisé dans la méthode d'Euler ? b) Quels sont les avantages et les inconvénients d'avoir un (t très grand ou très petit ?

Généralement, on ne peut pas calculer la solution de ces équations de manière exacte. Il est alors nécessaire d’utiliser des méthodes numériques qui donneront des bonnes approximations des solutions pour un coût de calcul qui ne soit pas trop important. La première de ces méthodes est la méthode d’Euler (due au mathématicien suisse Leonhard Euler [1707-1783]) ; mais l’étude de ces méthodes s’est surtout développée à partir des années cinquante avec l’apparition des ordinateurs . Pour calculer une approximation