Modèle Black-Scholes

1 Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options Semaine « éléments finis », ENSMP 29 novembre 2006 Jean-Didier Garaud (ONERA, DMSE/LCME) Plan 2 Actions et produits dérivés Modèle de Black-Scholes Hypothèses & équations Calcul d'Itō EDP de Black-Scholes Différentes méthodes de résolution Options « panier » Sous-jacents Exemples de sous-jacents: Actions Obligations, PEL Indices (ex: CAC 40) Devises (ex: $ vs. €) 3 Sous-jacents Exemples de sous-jacents:

Modèle Black-Scholes Le modèle de Black-Scholes (du nom de Fischer Black et Myron Scholes) d'évaluation d'option est un modèle utilisé en mathématiques financières afin d'estimer en théorie la valeur d'une option financière, du type option européenne. Importance historique et économique Il fut publié en 1973, et constituait le prolongement de travaux réalisés par Paul Samuelson et Robert Merton. Le mathématicien français Louis Bachelier avait inauguré l'étude du sujet en 1900. L'intuition fondamentale

Le modèle de Black-Scholes Depuis le début de la finance, les mathématiciens ont essayé de comprendre comment les marchés évoluent. Dans les années soixante-dix, les mathématiciens Black, Scholes et Merton établissent une théorie pour déterminer le prix d'une option. Cette nouvelle méthode leur a valu de recevoir le prix Nobel d'économie en 1997. Officiellement Black ne l'a pas reçu car il est décédé avant l'attribution du prix. Les marchés financiers remplissent en grande partie les conditions

......... 5 Le modèle de Black-Scholes....................................................................................... 5 Le modèle de Black-Scholes multi varié .................................................................... 6 Les modèles à sauts.................................................................................................... 6 Modèles à Volatilités Locale...................................................................................... 6 Modèles à volatilité Stochastique

Le modèle de Black–Scholes Philippe Briand, Mars 2003 1. Présentation du modèle Les mathématiciens ont depuis longtemps essayé de résoudre les questions soulevées par le monde de la finance. Une des caractéristiques de ces questions – il suffit de penser à la bourse pour s’en convaincre – est qu’elles font apparaître des dynamiques d’apparence désordonnées et c’est pourquoi les modèles probabilistes semblent relativement bien adaptés à cette situation. En 1901, la thèse de Louis Bachelier, Théorie

pas à communiquer par mail les erreurs qu’il pourrait rester ainsi qu’à proposer toute sorte de suggestions visant à améliorer le contenu de ce cours : randal.douc@it-sudparis.eu Table des matières 1 Modèles discrets 1.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . 1.2 Formalisme des modèles discrets . . . . . . 1.3 Probabilité risque-neutre . . . . . . . . . . 1.4 Calcul de la prime d’une option européenne 1.5 Points essentiels du chapitre . . . . . . . . 1.6 Un peu d’histoire . . . . . . .

le modele black scholes et la methode binomiale sont des methodes frequemment utilisées pour evaluer les options. le modele black scholes fut publié en 1973, et constituait le prolongement de travaux réalisés par Paul Samuelson et Robert Merton. Le mathématicien français Louis Bachelier avait inauguré l'étude du sujet en 1900. L'intuition fondamentale de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent. Leur découverte eut très

. . . . . 1.2 Modèle du marché financier . . . . . . . 1.3 Méthodes numériques . . . . . . . . . . . 1.4 Le modèle binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 5 6 10 10 11 12 12 13 17 17 18 19 22 23 24 24 25 27 29 30 31 31 31 32 32 32 34 37 39 39 41 41 2 Black et Scholes analytique 2.1

Black-Scholes pour les nuls S. De Bi`vre∗ e Laboratoire Paul Painlev´, CNRS, UMR 8524 et UFR de Math´matiques e e Universit´ des Sciences et Technologies de Lille e F-59655 Villeneuve d’Ascq Cedex, France. Equipe-Projet SIMPAF Centre de Recherche INRIA Futurs Parc Scientifique de la Haute Borne, 40, avenue Halley B.P. 70478 F-59658 Villeneuve d’Ascq cedex, France. 22 juin 2010 « La pr´vision est tr`s difficile, particuli`rement au sujet du futur. » e e e N. Bohr, physicien danois, 1885-1962 1

. . . . . . 5 5 5 5 6 8 8 2 Le mod`le de Black et Scholes et la volatilit´ implicite e e 2.1 Le mod`le de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.1 Portefeuille autofinan¸ant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 2.1.2 Evaluation risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1