Multiplication par un scalaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systèmes de coordonnées Propriétés du calcul vectoriel 49 49 50 52 52 54 55 58 59 61 61 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interprétation géométrique

+ 6 5 + 0 1 − 3 −7 − 4  5−2  3 −2 −11 B− A ≡   ≡   7 −5 8   6 − (−1) 0 − 5 8 − 0  La multiplication ne prend du sens que si la première matrice a un nombre de colonnes égal au nombre de lignes de la deuxième matrice. Notation : si la matrice A possède m lignes et n colonnes, nous la noterons Am,n et ses éléments seront notés a i , j avec 1 ≤i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n Ainsi les multiplications suivantes sont autorisées : (1) (2) (3) A3,2 × B2,3 = D3,3 A7,1 × B1,4 = D7,4 A1,1 × B1,5 = D1

déterminons le sous groupe de G engendré par {a, b}. Si H = 〈{a, b}〉 alors 1, a, b, ab, ba, b2 ∈ H, pour conclure qu’il n’y aura pas d’autres éléments, il suffit de montrer que K = {1, a, b, ab, ba, b2 } est un sous groupe de G, à l’aide d’une table de multiplication. 1 1 a b b2 ab ba a a 1 ba ab b2 b b b ab b2 1 ba a b2 b2 ba 1 b a ab ab ab b a ba 1 b2 ba ba b2 ab a b 1 L'anneaux Z/nZ K[X] Polynôme minimal Compléments 1 Sous groupes de Z Théorème 1 : Les sous groupes de Z sont de la forme

sont nulles. a b . On écrit de 2 Vecteurs de R2 ou de R3 → − → − R Les coordonnées d’un vecteur dépendent de la base ( i , j ). On peut alors démontrer : Théorème I.1 → → Si − u et − v sont des vecteurs du plan, λ un scalaire (=un réel) alors a − → u = , b a′ − → v = b′ implique − → → u +− v = a a′ + b = b′ a + a′ b + b′ et a → λ− u =λ = b Définition I.2 λa λb Si P est un point du plan, les coordonnées

4 1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 1.3 1 1.1.1 1.2 Les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplication matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

................................................................................. 7 1.3 Problèmes de compatibilités ................................................................................................................. 8 1.4 La multiplication des forces .................................................................................................................. 9 Domaines exploitables ...........................................................................................

Cours de mathématiques Les matrices 1. Les matrices 2 1.1. Définition 2 1.2. Somme de deux matrices 2 1.3. Produit d’une matrice par un scalaire 2 1.4. Produit de 2 matrices 3 1.5. Matrice identité [pic] 4 1.6. Transposée d’une matrice 4 1.7. Déterminant d’une matrice carrée 5 1.8. Déterminant mineur : 5 1.9. Cofacteur 5 1.10. Calcul du déterminant 5 1.11. Les opérations sur les déterminants 6 2. Matrice inverse 7 2.1. Définition 7 2.2. Propriété

commutative : , , Elle a un élément neutre : 0 0,0, … ,0 , Tout élément X a un opposé noté , / ,…, 0 / 0 0 Définition : On peut aussi définir sur une loi de composition externe, multiplication par un réel, noté "." ou parfois sans signe, par : , . , ,…, , ,…, Propriétés de la multiplication par un réel : 1. , , . . , , . . , , . . . L'ensemble . . , muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur . On le note ( ,+,.). I-2 Espace vectoriel réel Définition : Un ensemble

opérateurs Nous définissons maintenant le produit scalaire d’un bra et d'un ket. Le produit est écrit comme un bra à gauche et un ket à droite, comme suit: < 𝛽⏐𝛼 > = < 𝛽⏐ . (⏐𝛼 >) Ce produit est, en général, un nombre complexe. Il faut noter qu'en formant un produit scalaire, nous prenons toujours un vecteur de l'espace bra et un vecteur de l'espace ket. Remarque: Dans la littérature, ce produit est appelé produit scalaire par analogie avec le produit 𝑎 ·

d’une matrice >>A=[1,2,3;4 5 6] Pour obtenir un e´ l´ement d’une matrice : 1.2 D´efinir un scalaire Un scalaire est par d´efinition une matrice de dimensions 1 taxe est : ou >>a=[3.23] ✄ >>A(2,3) ans = 6 1 la syn- Pour obtenir une ligne ou une colonne : >> A(:,3) >> A(1,:) ans = ans = 3 1 2 3 6 Ces commandes permettent aussi d’extraire des e´ l´ements en les r´eorganisant : >>a=3.23 Les scalaires sont tous a priori des r´eels (pas de distinction explicite entre nombres entiers et nombres