Parabole

Gendron Camille L1HAA Groupe 3 La Parabole des aveugles Introduction : Pieter Bruegel l'Ancien, né vers 1525 et mort à Bruxelles en 1569, fut un pionnier de la description de la vie à la campagne. Il décrivit les paysans chassant, surveillant leurs troupeaux, moissonnant ou se divertissant. Son nom Bruegel le paysan ne doit cependant pas induire en erreur : ce fut en effet un artiste très sophistiqué et plutôt un citadin qu'un campagnard. On sait peu de choses de ses débuts ; il passa l’essentiel

Une parabole, du grec παραβολή : rapprochement, comparaison, est une des variétés de l’allégorie. C’est une figure de rhétorique, consistant en une courte histoire qui utilise les événements quotidiens pour illustrer une morale ou une doctrine. Tandis que celle-ci, en général, présente directement le fait qu’elle a en vue, sous un déguisement ou plutôt un ornement de langage, la parabole offre, sous ses couleurs véritables, un fait qui doit servir à la démonstration d’une vérité d’un autre ordre

strictement positif avec F ∈ D. Pour tout point M du plan, on note H le / MF = e est appelé conique de foyer F , de projeté orthogonal de M sur D. L’ensemble C des points M du plan vérifiant MH directrice D et d’excentricité e. Cette conique est appelée : – Parabole lorsque e = 1. – Ellipse lorsque 0 < e < 1. – Hyperbole lorsque e > 1. 2.2 Définition 2 Soit C une conique de foyer F et de directrice D. On appelle axe focal de C la droite ∆ perpendiculaire à D passant par F . 2.3 Propriété 1 Toute

1ère STMG Cours Fonctions polynômes de degré deux La parabole, représentation graphique des fonctions polynômes de degré deux, fut l’une des courbes les plus étudiées. Tout, ou presque, est connu de nos jours. Et les utilisations de cette courbe son nombreuses… Historiquement, Newton et Leibniz s’interrogeaient individuellement sur la chute des corps. D’ailleurs étymologiquement, parabole vient du grec para : à côté et ballein : lancer. Et pour cause, ils s’étaient rendus compte, comme déjà

. Donc d’après la question 3) de l’exercice 1 (Théorème 7.1 du de la parabole a pour coordonnées : . b) Le minimum de l’aire hachurée est le minimum de la fonction . Or est une fonction trinôme du second degré avec positif. D’après le théorème 7.1 du cours, sa représentation graphique est une parabole tournée vers le haut. On en déduit que le minimum de l’aire hachurée est l’ordonnée du sommet de la parabole. Il vaut donc . c) Tableau de variations de la fonction 4) a) L’équation

7. Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré r r Dans un repère (O ; i , j ), notons C la courbe d'équation y = ¦(x) = ax2 + bx + c. Théorème 5 La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. Elle est tournée vers le haut si a > 0, tournée vers le bas si a < 0. b Son axe de symétrie est la droite verticale d'équation : x = – . 2a D ö æ b Son sommet S a pour coordonnées : Sç- ;- ÷ è 2a 4a ø Démonstration : Procédons à un changement de

Signe de a x1 signe de –a x2 signe de a +∞ Signe de ax 2bxc −b 2a Si a0 , l'extremum est un minimum. Si a0 , l'extremum est un maximum. Extremum atteint pour x= La courbe d'une fonction du 2nd degré est une parabole ( avec a ≠ 0 )  −b Le sommet de la parabole a pour coordonnées : ( ; – ). 4a 2a 

polynôme du second degré définie sur Ë par f( x)=a( x−α) +β, où a, α et β sont des réels tels que aý0. La représentation graphique de f dans un repère du plan est une parabole de sommet S( α;β). Remarques : • La courbe est obtenue par translation de vecteur αÅ, dilatation de rapport a, puis translation i de vecteur βÅ de la parabole représentant la fonction carré. j • Les variations de f ne dépendent que du signe du coefficient a. a>0 x f −∞ α β +∞ a0 α x −∞ f(x) +∞ + α α x −∞ α +∞ f(x) + 0 +

(x)  x -   +  f (x)  Représentation graphique : Dans un repère, la courbe représentative de f est une parabole de sommet S (, ) et qui admet pour axe de symétrie la droite d’équation x = . S est un minimum S est un maximum II- Equations du second degré 1) Discriminant d’une fonction polynôme de degré 2 Définition : Soit f (x)

graphique de la parabole d'équation y = x2 . 2°) On considère le point R d'abscisse 2 de la parabole et δ une droite passant par R. Justifier que si δ est une droite parallèle à (Oy), elle a un seul point d'intersection avec la parabole. Dans toute la suite on suppose que δ n'est pas parallèle à (Oy). 3°) a) Donner une équation de δ . b) Étudier le nombre de points communs à δ et à la parabole et justifier qu'il existe une et une seule droite δ ayant un seul point commun avec la parabole. Donner le